Encontre a solução em séries de potências aa equação diferencial dada em torno do ponto
:
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução em séries de potências da equação diferencial em torno de
,
Informações dadas:
- A equação diferencial linear de segunda ordem é
. - O ponto de desenvolvimento é
.
O que se quer: encontrar uma expressão paraem série de potências centrada em (isto é, um desenvolvimento do tipo ), com as constantes arbitrárias que caracterizam a solução geral.
Passo 2
Comentário sobre o método: vamos supor que uma solução analítica em torno de
exista e escrevê-la como série de potências. Isso é padrão: para equações com coeficientes polinomiais, procurar
como série de potências funciona bem.
Assuma
onde os
são constantes a determinar. Então
Essas expressões vêm diretamente da diferenciação termo a termo: derivative of
is
, and again.
Passo 3
Substitua
e
na equação
:
A segunda soma simplifica para
Para somar termos com a mesma potência de
fazemos trocas de índice. Mude
na primeira soma: quando
dá
. Assim
Agora mude o índice da segunda soma para a mesma potência
: tome
, então a segunda soma fica
. Assim
Passo 4
Separe o termo
da primeira soma e compare coeficientes de
para cada
. O termo
dá
Para
os coeficientes de
devem satisfazer
ou seja a recorrência
Essa recorrência relaciona
com
— nota importante: ela pula de índice em índice de diferença
. Isso indica que os coeficientes se organizam em classes conforme
.
Passo 5
Use a recorrência para expressar os primeiros coeficientes em função de
e
(as constantes livres). Já vimos
. Calcule alguns termos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Vê-se que os coeficientes com índices congruentes a
(isto é
) são todos zero. Restam duas sequências independentes: os coeficientes com índices
(gerados por
) e com índices
(gerados por
). Logo a solução geral terá duas constantes arbitrárias, como esperado para uma EDO de segunda ordem.
Passo 6
Vamos escrever as duas séries explicitamente. Primeiro note a recorrência entre termos de mesma classe
:
se então, a partir de
. Portanto, para
,
se
com a convenção de produto vazio igual a
quando
.
Para a classe
(gerada por
):
Essas fórmulas de produto vêm aplicando repetidamente a recorrência encontrada no Passo 4.
Passo 7
Escrevendo as duas séries que correspondem a
e
temos a solução geral (com constantes arbitrárias
e
):
Para ficar mais concreto, aqui estão os primeiros termos de cada série (obtidos nos passos anteriores):
Observação extra (opcional): essas séries correspondem às funções de Airy clássicas; portanto a solução também pode ser escrita como combinação linear das funções padrão
e
. Mas aqui fornecemos explicitamente o desenvolvimento em série.