Encontre a solução em séries de potências aa equação diferencial dada em torno do ponto x_{0}=0 :
y^{\prime \prime}-x y=0

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução em séries de potências da equação diferencial em torno de x_{0}=0,
y''-x\,y=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem é \,y''-x y=0.
  • O ponto de desenvolvimento é x_{0}=0.
    O que se quer: encontrar uma expressão para y(x) em série de potências centrada em 0 (isto é, um desenvolvimento do tipo \sum a_n x^n), com as constantes arbitrárias que caracterizam a solução geral.

Passo 2

Comentário sobre o método: vamos supor que uma solução analítica em torno de 0 exista e escrevê-la como série de potências. Isso é padrão: para equações com coeficientes polinomiais, procurar y como série de potências funciona bem.
Assuma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Essas expressões vêm diretamente da diferenciação termo a termo: derivative of a_n x^n is n a_n x^{n-1}, and again.

Passo 3

Substitua y e y'' na equação \,y''-x y=0:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \;-\; x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\;0.
A segunda soma simplifica para
x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}.
Para somar termos com a mesma potência de x fazemos trocas de índice. Mude n-2=m na primeira soma: quando n=2 m=0. Assim
\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,x^{m} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}=0.
Agora mude o índice da segunda soma para a mesma potência x^m: tome n+1=m, então a segunda soma fica \sum_{m=1}^{\infty} a_{m-1} x^{m}. Assim
\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,x^{m} \;-\; \sum_{m=1}^{\infty} a_{m-1} x^{m}=0.

Passo 4

Separe o termo m=0 da primeira soma e compare coeficientes de x^m para cada m\ge0. O termo m=0
(m=0):\quad (2)(1)\,a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2=0.
Para m\ge1 os coeficientes de x^m devem satisfazer
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} - a_{m-1} = 0,
ou seja a recorrência
a_{m+2}=\frac{a_{m-1}}{(m+2)(m+1)},\qquad m\ge1.
Essa recorrência relaciona a_{m+2} com a_{m-1} — nota importante: ela pula de índice em índice de diferença 3. Isso indica que os coeficientes se organizam em classes conforme n\mod 3.

Passo 5

Use a recorrência para expressar os primeiros coeficientes em função de a_0 e a_1 (as constantes livres). Já vimos a_2=0. Calcule alguns termos:
  • Para m=1: a_3=\dfrac{a_0}{3\cdot 2}=\dfrac{a_0}{6}.
  • Para m=2: a_4=\dfrac{a_1}{4\cdot 3}=\dfrac{a_1}{12}.
  • Para m=3: a_5=\dfrac{a_2}{5\cdot 4}=\dfrac{0}{20}=0.
  • Para m=4: a_6=\dfrac{a_3}{6\cdot 5}=\dfrac{a_0/6}{30}=\dfrac{a_0}{180}.
  • Para m=5: a_7=\dfrac{a_4}{7\cdot 6}=\dfrac{a_1/12}{42}=\dfrac{a_1}{504}.
  • Para m=6: a_8=\dfrac{a_5}{8\cdot 7}=0.
Vê-se que os coeficientes com índices congruentes a 2\pmod 3 (isto é a_2,a_5,a_8,\dots) são todos zero. Restam duas sequências independentes: os coeficientes com índices n=3k (gerados por a_0) e com índices n=3k+1 (gerados por a_1). Logo a solução geral terá duas constantes arbitrárias, como esperado para uma EDO de segunda ordem.

Passo 6

Vamos escrever as duas séries explicitamente. Primeiro note a recorrência entre termos de mesma classe n\equiv 0\pmod 3:
se n=3k então, a partir de a_{3(k+1)} = a_{3k}/((3k+3)(3k+2)). Portanto, para k\ge0,
a_{3k} = a_0\;\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(3j)(3j-1)},
com a convenção de produto vazio igual a 1 quando k=0.
Para a classe n=3k+1 (gerada por a_1):
a_{3k+1} = a_1\;\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(3j+1)(3j)}.
Essas fórmulas de produto vêm aplicando repetidamente a recorrência encontrada no Passo 4.

Passo 7

Escrevendo as duas séries que correspondem a a_0 e a_1 temos a solução geral (com constantes arbitrárias C_1=a_0 e C_2=a_1):
y(x)=C_1\sum_{k=0}^{\infty}\left(\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(3j)(3j-1)}\right)x^{3k} \;+\; C_2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(3j+1)(3j)}\right)x^{3k+1}.
Para ficar mais concreto, aqui estão os primeiros termos de cada série (obtidos nos passos anteriores):
\text{primeira série: } \;1+\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180}+\frac{x^9}{12960}+\cdots,é
\text{segunda série: } \;x+\frac{x^4}{12}+\frac{x^7}{504}+\frac{x^{10}}{45360}+\cdots.é
Observação extra (opcional): essas séries correspondem às funções de Airy clássicas; portanto a solução também pode ser escrita como combinação linear das funções padrão \mathrm{Ai}(x) e \mathrm{Bi}(x). Mas aqui fornecemos explicitamente o desenvolvimento em série.

Resposta

y(x)=C_1\sum_{k=0}^{\infty}\left(\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(3j)(3j-1)}\right)x^{3k} \;+\; C_2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(3j+1)(3j)}\right)x^{3k+1}

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