(1,5 pt) Utilize o Teorema fundamental do Cálculo, determine a derivada da função da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são variáveis e dependem de
: o limite inferior é e o limite superior é . - Note que
para todo , portanto é contínua em toda a reta real — condição que garante que podemos aplicar o teorema que relaciona derivada e integral com limites variáveis.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar (intuição e fórmula): se
onde
é contínua e
são diferenciáveis, então a derivada de
é dada por
Por que isso é verdade (intuição e pequena demonstração): existe uma primitiva
tal que
. Então
Derivando pela regra da cadeia obtemos
Essa é a forma prática e direta para aplicar aqui.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema:
- Identificamos
. - Identificamos
e . - Calculamos as derivadas dos limites:
e .
Pelo teorema,
Reorganizando,
Passo 4
Substituindo explicitamente
:
Opcionalmente podemos reescrever de outra forma útil (usando
):