(1,5 pt) Utilize o Teorema fundamental do Cálculo, determine a derivada da função da função
g(x)=\int_{1-3 x}^{1+3 x} \frac{t^{2}}{t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
g(x)=\int_{1-3x}^{1+3x}\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\,dt.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é \displaystyle f(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}.
  • Os limites de integração são variáveis e dependem de x: o limite inferior é 1-3x e o limite superior é 1+3x.
  • Note que \displaystyle t^{2}+1>0 para todo t, portanto f(t) é contínua em toda a reta real — condição que garante que podemos aplicar o teorema que relaciona derivada e integral com limites variáveis.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar (intuição e fórmula): se
H(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt,
onde f é contínua e u(x),v(x) são diferenciáveis, então a derivada de H é dada por
H'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Por que isso é verdade (intuição e pequena demonstração): existe uma primitiva F tal que F'(t)=f(t). Então
H(x)=F\big(v(x)\big)-F\big(u(x)\big).
Derivando pela regra da cadeia obtemos
H'(x)=F'\big(v(x)\big)\,v'(x)-F'\big(u(x)\big)\,u'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Essa é a forma prática e direta para aplicar aqui.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema:
  • Identificamos f(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+1}.
  • Identificamos v(x)=1+3x e u(x)=1-3x.
  • Calculamos as derivadas dos limites: v'(x)=3 e u'(x)=-3.
Pelo teorema,
g'(x)=f\big(1+3x\big)\cdot 3 - f\big(1-3x\big)\cdot(-3).
Reorganizando,
g'(x)=3\Big(f\big(1+3x\big)+f\big(1-3x\big)\Big).

Passo 4

Substituindo explicitamente f:
g'(x)=3\left(\frac{(1+3x)^{2}}{(1+3x)^{2}+1}+\frac{(1-3x)^{2}}{(1-3x)^{2}+1}\right).
Opcionalmente podemos reescrever de outra forma útil (usando \dfrac{a^{2}}{a^{2}+1}=1-\dfrac{1}{a^{2}+1}):
g'(x)=6-3\left(\frac{1}{(1+3x)^{2}+1}+\frac{1}{(1-3x)^{2}+1}\right).

Resposta

g'(x)=3\left(\frac{(1+3x)^{2}}{(1+3x)^{2}+1}+\frac{(1-3x)^{2}}{(1-3x)^{2}+1}\right)

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