Esboce num mesmo sistema de eixos as funções abaixo e calcule a área da região compreendida entre as curvas:
y=x^{2}-1 e y=1-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que tracemos no mesmo sistema de eixos as curvas \;y = x^{2} - 1\; (parábola côncava para cima com vértice em (0,-1)) e \;y = 1 - x^{2}\; (parábola côncava para baixo com vértice em (0,1)),
e que calculemos a área da região fechada por elas. Para isso vamos determinar onde se cruzam, esboçar a região e usar uma integral definida.

Passo 2

As interseções satisfazem
x^{2} - 1 \;=\; 1 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Nesses pontos, y = 1 - (\pm1)^{2} = 0. Logo as interseções são (-1,0) e (1,0).

Passo 3

Esboçando no mesmo sistema:
  • A parábola y = x^{2} - 1 abre para cima, passa por (-1,0)\(,(0,-1)) e (1,0).
  • A parábola y = 1 - x^{2} abre para baixo, passa por (-1,0)\(,(0,1)) e (1,0).
    Entre x=-1 e x=1, a curva de cima é y = 1 - x^{2} e a de baixo é y = x^{2} - 1, definindo a região fechada.

Passo 4

A área A é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior em [-1,1]:
A = \int_{-1}^{1} \bigl[(1 - x^{2}) - (x^{2} - 1)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2})\,dx = 2 \int_{-1}^{1} (1 - x^{2})\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
2 \int_{-1}^{1} (1 - x^{2})\,dx = 2 \biggl[\,x - \frac{x^{3}}{3}\biggr]_{-1}^{1} = 2 \Bigl[\bigl(1 - \tfrac{1}{3}\bigr) - \bigl(-1 + \tfrac{1}{3}\bigr)\Bigr] = 2 \Bigl(\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3}\Bigr) = 2 \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

A área da região compreendida entre as curvas é \displaystyle \frac{8}{3}.

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