Calcule as seguintes integrais pelo método de substituição.
integral(3 t^2-4 t) raizt^3-2 t^2 d t

Passo 1

No enunciado, queremos calcular integral(3t^2-4t)raizt^3-2t^2,dt. O conteúdo é integração por substituição e vamos precisar identificar uma expressão cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = t^3 - 2t^2. Derivando em relação a t, obtemos du = (3t^2-4t),dt, que aparece exatamente no integrando.

Passo 3

Substituindo, notamos que (3t^2-4t),dt = du e raizt^3-2t^2 = raizu. Assim, a integral original vira integralraizu,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência: integral u^1/2,du = u^3/23/2+C = 23u^3/2+C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = t^3 - 2t^2. A antiderivada é 23(t^3-2t^2)^3/2+C.

Resposta

23(t^3-2t^2)^3/2+C

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