Considere uma equação diferencial do tipo y^prime+p(x) y=q(x) y^n, n neq 1 e n neq 0, dita de Bernoulli, com p e q funções contínuas nalgum intervalo I subseteq R.
2. Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
(b) y^prime-y=e^x / y;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação
y' - y = e^xy
é do tipo de Bernoulli, cuja forma geral é
y' + p(x)y = q(x)y^n
e, em seguida, resolvê-la pela mudança de variável apropriada.

Passo 2

Identificamos na forma de Bernoulli que
p(x) = -1,
q(x) = e^x,
n = -1
Como nneq0,1, escolhemos a transformação
v = y^1-n = y^2

Passo 3

Derivando v em relação a x temos
v' = 2y,y'
Isolando y' e substituindo na equação original resulta em
v'2y - y = e^xy
Multiplicando ambos os lados por 2y e usando y^2=v, obtemos a equação linear
v' - 2v = 2e^x

Passo 4

Para resolver
v' - 2v = 2e^x
calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral -2,dx = e^-2x
Multiplicando a equação por mu(x) vem
(e^-2xv)' = 2e^x e^-2x = 2e^-x
Integrando,
e^-2xv = integral 2e^-x,dx = -2e^-x + C
portanto
v = (-2e^-x + C)e^2x = -2e^x + Ce^2x

Passo 5

Voltando à variável y, como v = y^2, segue
y^2 = Ce^2x - 2e^x
Logo a solução geral é
y(x) = pmraizCe^2x - 2e^x

Resposta

A solução geral é y(x) = pmraizCe^2x - 2e^x, onde C é constante arbitrária.

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