Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int x\left(x^{2}+1\right) \sqrt{4-2 x^{2}-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\bigl(x^{2}+1\bigr)\sqrt{4-2x^{2}-x^{4}}\;dx
usando o método da substituição simples. A ideia é escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 4 - 2x^{2} - x^{4}.
Em seguida, derivamos em relação a x:
du = \bigl(-4x - 4x^{3}\bigr)\,dx = -4\,x\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Isolamos x(1+x^{2})\,dx em função de du:
x\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = -\frac{1}{4}\,du.

Passo 4

Substituímos na integral original:
\int x\bigl(x^{2}+1\bigr)\sqrt{4-2x^{2}-x^{4}}\;dx =\int \sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{4}du\Bigr) =-\tfrac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 5

Integramos em u:
-\tfrac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du =-\tfrac{1}{4}\cdot \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} =-\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} =-\frac{1}{6}\,u^{\tfrac32}+C.

Passo 6

Voltamos à variável x substituindo u=4-2x^{2}-x^{4}:
-\frac{1}{6}\,\bigl(4-2x^{2}-x^{4}\bigr)^{\tfrac32}+C.

Resposta

-\frac{1}{6}\bigl(4-2x^{2}-x^{4}\bigr)^{\tfrac32}+C

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