Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int \operatorname{Cos}(x) \sqrt{1+\operatorname{Sen}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos(x)\,\sqrt{1+\sin(x)}\,dx
usando o método da substituição simples. O conteúdo aqui é reconhecer uma função composta cuja derivada aparece no integrando, facilitando a integração.

Passo 2

Note que a derivada de \sin(x) é \cos(x). Por isso, escolhemos a substituição
u = 1 + \sin(x),
de onde
du = \cos(x)\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \cos(x)\,\sqrt{1+\sin(x)}\,dx = \int \sqrt{u}\,du = \int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência para integrais:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 1 + \sin(x):
\frac{2}{3}\,(1+\sin(x))^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\,(1+\sin(x))^{\tfrac32} + C.

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