Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int 5 x \sqrt[3]{\left(9-4 x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 5x\,\sqrt[3]{\bigl(9-4x^{2}\bigr)^{2}}\;dx
usando o método da substituição simples. Aqui reconhecemos que dentro da raiz cúbica temos a função composta 9-4x^{2}, e que existe um fator x\,dx que combina bem com sua derivada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 9 - 4x^{2}.
Então
du = \frac{d}{dx}\bigl(9 - 4x^{2}\bigr)\,dx = -8x\,dx
e, portanto,
x\,dx = -\frac{1}{8}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int 5x\,(9-4x^{2})^{2/3}\,dx = 5\int u^{2/3}\,\bigl(x\,dx\bigr) = 5\int u^{2/3}\,\Bigl(-\frac{1}{8}\,du\Bigr) = -\frac{5}{8}\int u^{2/3}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrar em u:
\int u^{2/3}\,du = \frac{u^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}\,u^{5/3}.
Logo,
-\frac{5}{8}\int u^{2/3}\,du = -\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{5}\,u^{5/3} = -\frac{3}{8}\,u^{5/3}.
Voltando à variável x com u=9-4x^{2}, obtemos a primitiva.

Resposta

-\frac{3}{8}\bigl(9-4x^{2}\bigr)^{5/3}+C

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