Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
(a) \int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} \operatorname{tg}\left(x^{2}\right) d x\right] d y
(b) \int_{1}^{2}\left[\int_{1}^{x} \frac{x^{2}}{y^{2}} d y\right] d x
(c) \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1-y^{2}} d y\right] d x
(d) \int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{1} \operatorname{sen}\left(y^{2}\right) d y\right] d x
(e) \int_{0}^{1}\left[\int_{3 y}^{y} e^{x^{2}} d x\right] d y
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, mudando a ordem de integração, as cinco integrais abaixo. Vou listar cada integral e as informações dadas para cada item:
Note que as integrais internas têm limite inferior 3y e superior y; como 3y\ge y quando y\ge0, precisamos ter cuidado com a orientação (isto dará sinal negativo).
Intervalos originais: 0\le y\le1, 3y\le x\le y (isto normalmente indica integral com limites invertidos).
Agora começo a resolver cada item mudando a ordem de integração e explicando cada passo didaticamente.
Passo 2
Resolvendo (a).
Interpretação da região: a condição 0\le y\le1 e y\le x\le1 descreve o triângulo no plano (x,y) com vértices (0,0), (1,0), (1,1). Em palavras: x varia entre 0 e 1 e, para cada x, y varia de 0 até x.
Mudança da ordem: trocando a ordem, obtenho
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} \tan(x^{2})\, dx\right] dy = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} \tan(x^{2})\, dy\right] dx.
(Explicação: para cada x fixo, y vai de 0 até x.)
Calcular a integral interna em y: como o integrando \tan(x^{2}) é constante em relação a y,
\int_{0}^{x} \tan(x^{2})\, dy = \tan(x^{2})\cdot (x-0)= x\,\tan(x^{2}).
Agora resta calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\,\tan(x^{2})\, dx. Faço a substituição padrão para funções do tipo x\cdot f(x^{2}): seja u=x^{2}. Então du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Os limites: x=0\Rightarrow u=0, x=1\Rightarrow u=1. Assim
\int_{0}^{1} x\,\tan(x^{2})\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \tan(u)\, du.
Integral de \tan u: \int \tan u\, du = -\ln|\cos u| + C. Então
Região original: 1\le x\le 2, 1\le y\le x. Isso é o triângulo no plano com vértices (1,1), (2,1), (2,2). Trocar a ordem: y vai de 1 até 2 e, para cada y, x vai de x=y até x=2. Portanto
Integro em x primeiro: \displaystyle \int_{y}^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}\, dx = \frac{1}{y^{2}}\int_{y}^{2} x^{2}\, dx. A integral de x^{2} é x^{3}/3, então
Conclusão para (b): valor \displaystyle \frac{5}{6}.
Passo 4
Resolvendo (c).
Região: 0\le x\le1 e 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}}. Isso é exatamente o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante. Mudando a ordem, y varia de 0 até 1 e, para cada y, x varia de 0 até \sqrt{1-y^{2}}. Assim
Integral interna em x: \sin(y^{2}) é constante em relação a x, então
\int_{0}^{y} \sin(y^{2})\, dx = y\,\sin(y^{2}).
Agora calcular \displaystyle \int_{0}^{1} y\,\sin(y^{2})\, dy. Faço a substituição u=y^{2}, então du=2y\,dy e y\,dy=\tfrac{1}{2}du. Os limites: y=0\Rightarrow u=0, y=1\Rightarrow u=1. Assim
\int_{0}^{1} y\,\sin(y^{2})\, dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \sin(u)\, du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1-\cos 1).
Conclusão para (d): valor \displaystyle \frac{1-\cos 1}{2}.
Passo 6
Resolvendo (e) — o mais delicado por causa da ordem invertida nos limites internos.
Observação inicial: a integral interna é \int_{3y}^{y} e^{x^{2}}\, dx. Para y\in[0,1] temos 3y\ge y (exceto em y=0 onde são iguais), então o limite inferior é maior que o superior; por convenção
É útil trabalhar com a forma -\int_{y}^{3y} e descrever a região R=\{(x,y):0\le y\le1,\\ y\le x\le 3y\}.
Determinar os limites de x ao trocar a ordem: da condição y\le x\le 3y e 0\le y\le1 obtemos que x varia de 0 até 3. Para um x fixo, y deve satisfazer x/3\le y\le x, mas também 0\le y\le1. Assim, dependendo de x temos:
Se 0\le x\le1: então x\le1 e y fica entre x/3 e x.
Se 1\le x\le3: então x>1, e como y\le1 temos y entre x/3 e 1 (pois o limite superior natural x ultrapassaria 1).
Portanto, escrevo a integral (lembrando do sinal negativo) como
Observação didática final: a função e^{x^{2}} não tem primitiva elementar em termos de funções elementares, por isso a resposta inclui a integral imprimitiva \int_{1}^{3} e^{x^{2}}\, dx. Isso é perfeitamente aceitável quando a troca de ordem transforma a integral em uma combinação de termos elementares e uma parte que continua com \int e^{x^{2}}\,dx.