Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z=x^{2}+y^{2} e inferiormente pela região limitada por y=x^{2} e x=y^{2}.
(b) Limitado superiormente por z=3 x^{2}+y^{2} e inferiormente pela região limitada por y=x e x=y^{2}-y.
(c) Limitado por y^{2}+z^{2}=4, x=2 y, x=0 e z=0, no primeiro octante.
(d) Limitado por z=x^{2}+y^{2}+4, x=0, y=0, z=0 e x+y=1.
(e) Limitado por x^{2}+y^{2}=1, y=z, x=0 e z=0, no primeiro octante.
Passo 1
Vou escrever claramente o que cada item pede e quais são as informações dadas, para não nos perder depois.
(a) Pede o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z=x^{2}+y^{2} e cuja projeção no plano xy é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}. Ou seja: volume acima da região do plano e abaixo de z=x^{2}+y^{2}.
(b) Pede o volume do sólido limitado superiormente por z=3x^{2}+y^{2} e cuja projeção no plano xy é a região limitada pelas curvas y=x e x=y^{2}-y.
(c) Pede o volume do sólido determinado pelas superfícies \;y^{2}+z^{2}=4,\; x=2y,\; x=0,\; z=0\; no primeiro octante (portanto x\ge0,y\ge0,z\ge0). Note que \;y^{2}+z^{2}=4\; é um cilindro cuja seção é um círculo no plano yz.
(d) Pede o volume do sólido limitado por \;z=x^{2}+y^{2}+4,\; x=0,\; y=0,\; z=0,\; x+y=1. Interpretamos isto como o sólido acima do plano z=0 e abaixo da superfície z=x^{2}+y^{2}+4, sobre a região triangular no plano xy dada por x\ge0,y\ge0,x+y\le1.
(e) Pede o volume do sólido limitado por \;x^{2}+y^{2}=1,\; y=z,\; x=0,\; z=0\; no primeiro octante. Aqui a projeção no plano xy é o quarto de disco x^{2}+y^{2}\le1 com x\ge0,y\ge0; verticalmente z vai de 0 até y (porque z=0 e z=y limitam).
Passo 2
Resolvendo (a). Vamos montar a integral dupla e calcular passo a passo.
Identificar a região no plano xy. As curvas dadas são \;y=x^{2}\; e \;x=y^{2}. Intersecção: substituir y=x^{2} em x=y^{2} dá
x = (x^{2})^{2}=x^{4}\quad\Rightarrow\quad x^{4}-x=0 \Rightarrow x(x^{3}-1)=0,
logo x=0 ou x=1. Como estamos no primeiro quadrante (essas curvas se cruzam entre 0 e 1), o intervalo para x é 0\le x\le1.
Determinar quem fica embaixo e quem em cima para um x fixo. No intervalo 0\le x\le1 temos x^{2}\le \sqrt{x} (pois \sqrt{x}=y da outra curva), então para cada x a ordenada menor é y=x^{2} e a maior é y=\sqrt{x}.
Volume: o sólido é o conjunto de pontos (x,y,z) com (x,y) na região R e 0\le z\le x^{2}+y^{2}. Assim
Resolvendo (b). Procedimento passo a passo e explicação didática.
Região no plano xy é limitada por \;y=x\; e \;x=y^{2}-y. Encontramos interseções: substituímos x=y em x=y^{2}-y e obtemos
y = y^{2}-y \Rightarrow y^{2}-2y=0 \Rightarrow y(y-2)=0,
portanto y=0 ou y=2. Assim 0\le y\le2.
Para um y fixo, as abscissas vão de x_{\text{esq}}=y^{2}-y até x_{\text{dir}}=y. Verificamos que y\ge y^{2}-y em 0\le y\le2 (porque y-(y^{2}-y)=2y-y^{2}\ge0 nesse intervalo), logo a ordem x de y^{2}-y até y está correta.
O sólido tem teto z=3x^{2}+y^{2} e base a região R. Logo
Resolvendo (c). Vou explicar a geometria e o uso de coordenadas polares no plano yz.
A superfície \;y^{2}+z^{2}=4\; é um cilindro com eixo paralelo ao eixo x: para cada x fixo, a seção no plano yz é um círculo de raio 2 centrado na origem do plano yz.
As outras restrições: x=0 e x=2y limitam a extensão em x; z=0 e “no primeiro octante” implicam y\ge0,\; z\ge0. Portanto a projeção do sólido sobre o plano yz é o quarto de disco (primeiro quadrante do plano yz) com 0\le r\le2,\;0\le\theta\le\pi/2 se usarmos coordenadas polares no plano yz.
Para cada ponto (y,z) desse quarto de disco, x varia de 0 até 2y. Assim o volume pode ser escrito como
onde D é o quarto de disco \{(y,z): y\ge0,z\ge0, y^{2}+z^{2}\le4\}.
Use coordenadas polares no plano yz: \;y=r\cos\theta,\; z=r\sin\theta\; com 0\le r\le2,\; 0\le\theta\le\pi/2. O elemento de área vale dA_{yz}=r\,dr\,d\theta.