Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z=x^{2}+y^{2} e inferiormente pela região limitada por y=x^{2} e x=y^{2}.
(b) Limitado superiormente por z=3 x^{2}+y^{2} e inferiormente pela região limitada por y=x e x=y^{2}-y.
(c) Limitado por y^{2}+z^{2}=4, x=2 y, x=0 e z=0, no primeiro octante.
(d) Limitado por z=x^{2}+y^{2}+4, x=0, y=0, z=0 e x+y=1.
(e) Limitado por x^{2}+y^{2}=1, y=z, x=0 e z=0, no primeiro octante.

Passo 1

Vou escrever claramente o que cada item pede e quais são as informações dadas, para não nos perder depois.
(a) Pede o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z=x^{2}+y^{2} e cuja projeção no plano xy é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}. Ou seja: volume acima da região do plano e abaixo de z=x^{2}+y^{2}.
(b) Pede o volume do sólido limitado superiormente por z=3x^{2}+y^{2} e cuja projeção no plano xy é a região limitada pelas curvas y=x e x=y^{2}-y.
(c) Pede o volume do sólido determinado pelas superfícies \;y^{2}+z^{2}=4,\; x=2y,\; x=0,\; z=0\; no primeiro octante (portanto x\ge0,y\ge0,z\ge0). Note que \;y^{2}+z^{2}=4\; é um cilindro cuja seção é um círculo no plano yz.
(d) Pede o volume do sólido limitado por \;z=x^{2}+y^{2}+4,\; x=0,\; y=0,\; z=0,\; x+y=1. Interpretamos isto como o sólido acima do plano z=0 e abaixo da superfície z=x^{2}+y^{2}+4, sobre a região triangular no plano xy dada por x\ge0,y\ge0,x+y\le1.
(e) Pede o volume do sólido limitado por \;x^{2}+y^{2}=1,\; y=z,\; x=0,\; z=0\; no primeiro octante. Aqui a projeção no plano xy é o quarto de disco x^{2}+y^{2}\le1 com x\ge0,y\ge0; verticalmente z vai de 0 até y (porque z=0 e z=y limitam).

Passo 2

Resolvendo (a). Vamos montar a integral dupla e calcular passo a passo.
  1. Identificar a região no plano xy. As curvas dadas são \;y=x^{2}\; e \;x=y^{2}. Intersecção: substituir y=x^{2} em x=y^{2}
x = (x^{2})^{2}=x^{4}\quad\Rightarrow\quad x^{4}-x=0 \Rightarrow x(x^{3}-1)=0,
logo x=0 ou x=1. Como estamos no primeiro quadrante (essas curvas se cruzam entre 0 e 1), o intervalo para x é 0\le x\le1.
  1. Determinar quem fica embaixo e quem em cima para um x fixo. No intervalo 0\le x\le1 temos x^{2}\le \sqrt{x} (pois \sqrt{x}=y da outra curva), então para cada x a ordenada menor é y=x^{2} e a maior é y=\sqrt{x}.
  2. Volume: o sólido é o conjunto de pontos (x,y,z) com (x,y) na região R e 0\le z\le x^{2}+y^{2}. Assim
V_a=\iint_{R} (x^{2}+y^{2})\,dA.
  1. Montamos a integral em ordem dy\,dx:
V_a=\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.
  1. Integramos em y. Primeiro calcule
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} (x^{2}+y^{2})\,dy = x^{2}\big(\sqrt{x}-x^{2}\big) + \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}.
Substituindo os limites obtemos
x^{2}x^{1/2}-x^{4} + \frac{x^{3/2}}{3} - \frac{x^{6}}{3} = x^{5/2}-x^{4}+\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{x^{6}}{3}.
  1. Agora integramos em x de 0 a 1. Integrais term a termo:
\int_{0}^{1} x^{5/2}\,dx=\frac{2}{7},\quad \int_{0}^{1} x^{4}\,dx=\frac{1}{5},\quad \int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx=\frac{2}{5},\quad \int_{0}^{1} x^{6}\,dx=\frac{1}{7}.
Com os coeficientes:
V_a=\frac{2}{7}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}.
  1. Colocando em denominador comum (105) ou simplificando:
V_a=\frac{30-21+14-5}{105}=\frac{18}{105}=\frac{6}{35}.

Passo 3

Resolvendo (b). Procedimento passo a passo e explicação didática.
  1. Região no plano xy é limitada por \;y=x\; e \;x=y^{2}-y. Encontramos interseções: substituímos x=y em x=y^{2}-y e obtemos
y = y^{2}-y \Rightarrow y^{2}-2y=0 \Rightarrow y(y-2)=0,
portanto y=0 ou y=2. Assim 0\le y\le2.
  1. Para um y fixo, as abscissas vão de x_{\text{esq}}=y^{2}-y até x_{\text{dir}}=y. Verificamos que y\ge y^{2}-y em 0\le y\le2 (porque y-(y^{2}-y)=2y-y^{2}\ge0 nesse intervalo), logo a ordem x de y^{2}-y até y está correta.
  2. O sólido tem teto z=3x^{2}+y^{2} e base a região R. Logo
V_b=\iint_{R} (3x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{y=0}^{2}\int_{x=y^{2}-y}^{x=y} (3x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
  1. Integramos em x. Uma antiderivada de 3x^{2}+y^{2} em x é x^{3}+y^{2}x. Avaliando nos limites:
\left[x^{3}+y^{2}x\right]_{x=y^{2}-y}^{x=y} = \big(y^{3}+y^{3}\big) - \big((y^{2}-y)^{3} + y^{2}(y^{2}-y)\big).
O primeiro termo é 2y^{3}. Vamos desenvolver o segundo:
(y^{2}-y)^{3}=y^{6}-3y^{5}+3y^{4}-y^{3},\quad y^{2}(y^{2}-y)=y^{4}-y^{3}.
Somando dá y^{6}-3y^{5}+4y^{4}-2y^{3}.
  1. A diferença (o integrando em y) é
2y^{3} - \big(y^{6}-3y^{5}+4y^{4}-2y^{3}\big) = -y^{6}+3y^{5}-4y^{4}+4y^{3}.
  1. Integramos em y de 0 a 2. Calculem-se as primitivas:
\int_{0}^{2} -y^{6}\,dy = -\frac{2^{7}}{7}=-\frac{128}{7},\quad \int_{0}^{2} 3y^{5}\,dy =3\cdot\frac{2^{6}}{6}=32,
\int_{0}^{2} -4y^{4}\,dy = -4\cdot\frac{2^{5}}{5}=-\frac{128}{5},\quad \int_{0}^{2} 4y^{3}\,dy =4\cdot\frac{2^{4}}{4}=16.
  1. Somando:
V_b = -\frac{128}{7} + 32 - \frac{128}{5} + 16.
Colocando em denominador comum 35 obtemos
V_b=\frac{1680-640-896}{35}=\frac{144}{35}.

Passo 4

Resolvendo (c). Vou explicar a geometria e o uso de coordenadas polares no plano yz.
  1. A superfície \;y^{2}+z^{2}=4\; é um cilindro com eixo paralelo ao eixo x: para cada x fixo, a seção no plano yz é um círculo de raio 2 centrado na origem do plano yz.
  2. As outras restrições: x=0 e x=2y limitam a extensão em x; z=0 e “no primeiro octante” implicam y\ge0,\; z\ge0. Portanto a projeção do sólido sobre o plano yz é o quarto de disco (primeiro quadrante do plano yz) com 0\le r\le2,\;0\le\theta\le\pi/2 se usarmos coordenadas polares no plano yz.
  3. Para cada ponto (y,z) desse quarto de disco, x varia de 0 até 2y. Assim o volume pode ser escrito como
V_c=\iint_{D} \big(\,x_{\text{max}}-x_{\text{min}}\,\big)\,dA_{yz} = \iint_{D} (2y)\,dA_{yz} = 2\iint_{D} y\,dA_{yz},
onde D é o quarto de disco \{(y,z): y\ge0,z\ge0, y^{2}+z^{2}\le4\}.
  1. Use coordenadas polares no plano yz: \;y=r\cos\theta,\; z=r\sin\theta\; com 0\le r\le2,\; 0\le\theta\le\pi/2. O elemento de área vale dA_{yz}=r\,dr\,d\theta.
  2. Então
V_c=2\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} (r\cos\theta)\, r\,dr\,d\theta =2\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta \left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right)d\theta.
  1. Calcule inner: \int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \dfrac{2^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}. Então
V_c=2\cdot \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \frac{16}{3}\left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{16}{3}\cdot 1=\frac{16}{3}.

Passo 5

Resolvendo (d). Montagem da integral na região triangular e computação.
  1. A projeção no plano xy é o triângulo T=\{(x,y): x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}. Para cada (x,y)\in T, z varia de 0 até x^{2}+y^{2}+4. Logo
V_d=\iint_{T} (x^{2}+y^{2}+4)\,dA.
  1. Vou integrar na ordem dx\,dy. Para y fixo, x vai de 0 a 1-y. Assim
V_d=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} (x^{2}+y^{2}+4)\,dx\,dy.
  1. Integramos em x:
\int_{0}^{1-y} (x^{2}+y^{2}+4)\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1-y} + y^{2}(1-y) + 4(1-y).
O primeiro termo é \dfrac{(1-y)^{3}}{3}.
  1. Portanto o integrando em y é
f(y)=\frac{(1-y)^{3}}{3} + y^{2}(1-y) + 4(1-y).
Podemos integrar termo a termo.
  1. Calcule as três integrais separadas de y=0 a 1:
  • \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(1-y)^{3}}{3}\,dy = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} (usar substituição ou expandir),
  • \displaystyle \int_{0}^{1} y^{2}(1-y)\,dy = \int_{0}^{1} (y^{2}-y^{3})\,dy = \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12},
  • \displaystyle \int_{0}^{1} 4(1-y)\,dy = 4\left[ y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 4\cdot\frac{1}{2}=2.
  1. Somando:
V_d=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+2 = 2+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}.

Passo 6

Resolvendo (e). Região em xy é um quarto de disco e teto é z=y.
  1. A projeção D no plano xy é x^{2}+y^{2}\le1 com x\ge0,\;y\ge0 (primeiro quadrante do disco de raio 1). Para cada (x,y)\in D, 0\le z\le y. Assim
V_e=\iint_{D} y\,dA.
  1. Usamos coordenadas polares usuais: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com 0\le r\le1,\; 0\le\theta\le\pi/2. O jacobiano é r.
  2. Então
V_e=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta \left(\int_{0}^{1} r^{2}\,dr\right)d\theta.
  1. Temos \int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \dfrac{1}{3} e \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = 1. Portanto
V_e = 1\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

(a) \dfrac{6}{35}
(b) \dfrac{144}{35}
(c) \dfrac{16}{3}
(d) \dfrac{13}{6}
(e) \dfrac{1}{3}

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