Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
© integral0^1[integral0^raiz1-x^2 raiz1-y^2 d y] d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla sobre o quarto de círculo de raio 1 em que x vai de 0 a 1 e y de 0 a raiz1-x^2. O conteúdo principal é mudança de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região de integração D:
$$
D = {(x,y) \mid 0 \le x \le 1,;0 \le y \le \sqrt{1-x^2}}\n$$

Passo 3

Para inverter a ordem, para cada y em [0,1] o x varia desde 0 até a curva x= raiz1-y^2. Assim a descrição invertida é
0 <= y <= 1, 0 <= x <= raiz1-y^2

Passo 4

Reescrevendo a integral com os limites invertidos:
integral0^1l[integral0^raiz1-y^2 raiz1-y^2,dxr]dy

Passo 5

Calculando a integral interna em x, como raiz1-y^2 é constante em x:
integral0^raiz1-y^2 raiz1-y^2,dx = raiz1-y^2cdotraiz1-y^2 = 1 - y^2
Fica então
integral0^1(1-y^2),dy = l[y - tfracy^33r]0^1 = 1 - tfrac13 = tfrac23

Resposta

tfrac23

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