Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Temos
Conteúdo: integrais iteradas e troca de ordem de integração. Vamos precisar desenhar/região definida pelas desigualdades dos limites e depois reescrever a integral trocando “dy dx” por “dx dy”, tomando cuidado com os sinais e com os limites de cada variável.
Passo 2
Repare que, para cada y em [0,1], o limite inferior 3y é maior que o superior y (quando y>0). Isso significa que
Logo
Passo 3
A região de integração D é dada por
Para trocar a ordem, escolhemos x primeiro. Observamos que x varia de 0 (quando y=0) até o máximo 3 (quando y=1 e x=3y). Para cada x em [0,3], y deve satisfazer
Passo 4
Como a expressão
muda em x=1, particionamos em dois
casos:
casos:
- Se
, então , e y varia de x/3 até x. - Se
, então , e y varia de x/3 até 1.
Portanto,
Passo 5
Agora fazemos a integral interna em y, que é trivial pois integrando constante em y:
Para
:
Para
:
Logo
Passo 6
Agora separamos a segunda integral em duas:
E usamos a substituição
,
para calcular
. Temos
Também
Passo 7
Substituindo de volta em I:
Distribuindo o sinal menos e recolhendo termos constantes:
Logo
Passo 8
Essa é a forma final, expressa em termos da integral não elementar
e dos termos que conseguimos fechar.