Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
(e) integral0^1[integral3 y^y e^x^2 d x] d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Temos
I=integral0^1gl(integral3y^y e^x^2,dxgr)dy
Conteúdo: integrais iteradas e troca de ordem de integração. Vamos precisar desenhar/região definida pelas desigualdades dos limites e depois reescrever a integral trocando “dy dx” por “dx dy”, tomando cuidado com os sinais e com os limites de cada variável.

Passo 2

Repare que, para cada y em [0,1], o limite inferior 3y é maior que o superior y (quando y>0). Isso significa que
integral3y^y e^x^2,dx = -integraly^3y e^x^2,dx
Logo
I = -integral0^1 integraly^3y e^x^2,dx,dy

Passo 3

A região de integração D é dada por
D=(x,y):0<= y<=1,;y<= x<= 3y
Para trocar a ordem, escolhemos x primeiro. Observamos que x varia de 0 (quando y=0) até o máximo 3 (quando y=1 e x=3y). Para cada x em [0,3], y deve satisfazer
x3<= y<= min(x,1)

Passo 4

Como a expressão min(x,1) muda em x=1, particionamos em dois
casos:
  1. Se 0<= x<=1, então min(x,1)=x, e y varia de x/3 até x.
  2. Se 1<= x<=3, então min(x,1)=1, e y varia de x/3 até 1.
Portanto,
I = -gl[ integral0^1 integralx/3^x e^x^2,dy,dx + integral1^3 integralx/3^1 e^x^2,dy,dx gr]

Passo 5

Agora fazemos a integral interna em y, que é trivial pois integrando constante em y:
Para 0<= x<=1: integralx/3^x e^x^2,dy = (x - x/3)e^x^2 = tfrac2x3e^x^2
Para 1<= x<=3: integralx/3^1 e^x^2,dy = l(1 - x/3r)e^x^2
Logo
I = -l[ integral0^1 tfrac2x3e^x^2,dx + integral1^3 l(1 - tfracx3r)e^x^2,dx r]

Passo 6

Agora separamos a segunda integral em duas:
integral1^3 l(1 - tfracx3r)e^x^2,dx = integral1^3 e^x^2,dx - tfrac13integral1^3 x e^x^2,dx
E usamos a substituição u = x^2, du = 2x,dx para calcular integral x e^x^2,dx. Temos
integral1^3 x e^x^2,dx = tfrac12l[e^x^2r]1^3 = tfrac12(e^9-e)
Também
integral0^1 tfrac2x3e^x^2,dx = tfrac23 cdot tfrac12[e^x^2]0^1 = tfrac13(e-1)

Passo 7

Substituindo de volta em I:
I = -l[ tfrac13(e-1) + l(integral1^3 e^x^2,dx - tfrac13cdot tfrac12(e^9-e)r) r]
Distribuindo o sinal menos e recolhendo termos constantes:
I = -integral1^3 e^x^2,dx - tfrac13(e-1) + tfrac16(e^9-e)
Logo
I = -integral1^3 e^x^2,dx + e^9-3e6 + 13

Passo 8

Essa é a forma final, expressa em termos da integral não elementar integral1^3e^x^2dx e dos termos que conseguimos fechar.

Passo 9

Resposta

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