Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
O problema é um PVI de segunda ordem: temos a equação y’’ - 2y’ + y = 60 t^4 e^t com as condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=2. O conteúdo envolvido é o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem, e vamos precisar verificar a continuidade dos coeficientes e do termo forçante.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão y’’ + p(t)y’ + q(t)y = g(t), identificamos p(t) = -2, q(t) = 1 e g(t) = 60 t^4 e^t.
Passo 3
Pelo teorema de existência e unicidade, se p(t), q(t) e g(t) são contínuas em um intervalo que contenha t=0, então existe solução única nesse intervalo.
Passo 4
Como p(t) = -2, q(t) = 1 e g(t) = 60 t^4 e^t são funções contínuas para todo t real, o maior intervalo em que a solução certamente existe e é única é (-∞, ∞).
Resposta
(-∞, ∞)