Dado o problema de valor inicial (PVI)
y^prime prime-2 y^prime+y=60 t^4 e^t, y(0)=0 e y^prime(0)=2
(a) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem: temos a equação y’’ - 2y’ + y = 60 t^4 e^t com as condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=2. O conteúdo envolvido é o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem, e vamos precisar verificar a continuidade dos coeficientes e do termo forçante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão y’’ + p(t)y’ + q(t)y = g(t), identificamos p(t) = -2, q(t) = 1 e g(t) = 60 t^4 e^t.

Passo 3

Pelo teorema de existência e unicidade, se p(t), q(t) e g(t) são contínuas em um intervalo que contenha t=0, então existe solução única nesse intervalo.

Passo 4

Como p(t) = -2, q(t) = 1 e g(t) = 60 t^4 e^t são funções contínuas para todo t real, o maior intervalo em que a solução certamente existe e é única é (-∞, ∞).

Resposta

(-∞, ∞)

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