Calcule as seguintes integrais, observando que o campo é conservativo:
, onde
é uma curva
por partes que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é uma curva
por partes ligando
a
.
O conteúdo principal é reconhecer que o campo de classe é conservativo e, então, aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz
O conteúdo principal é reconhecer que o campo de classe
onde
é potencial de
e
,
são os pontos inicial e final.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo calculamos
Como
e o domínio é todo
(simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função
tal que
Integrando
em
obtém-se
onde
é função só de
. Diferenciando essa expressão em
:
e igualando a
vem
. Logo
é constante, que podemos tomar zero, ficando
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,