Calcule as seguintes integrais, observando que o campo é conservativo:
integralC y d x+x d y, onde C é uma curva C^1 por partes que liga o ponto (1,1) ao ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCy,dx + x,dy
onde C é uma curva C^1 por partes ligando (1,1) a (2,2).
O conteúdo principal é reconhecer que o campo de classe F(x,y)=(P,Q)=(y,x) é conservativo e, então, aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz
integralCP,dx + Q,dy = fl(Br)-fl(Ar),
onde f é potencial de F e A, B são os pontos inicial e final.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo calculamos
partial Ppartial y ;=; partial partial y(y) ;=;1, partial Qpartial x ;=; partial partial x(x) ;=;1
Como partial Ppartial y=partial Qpartial x e o domínio é todo R^2 (simplesmente conexo), F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função f(x,y) tal que
partial fpartial x=P(x,y)=y, partial fpartial y=Q(x,y)=x
Integrando partial f/partial x=y em x obtém-se
f(x,y)=integral y,dx=xy + h(y),
onde h é função só de y. Diferenciando essa expressão em y:
partial fpartial y =x + h'(y)
e igualando a Q(x,y)=x vem h'(y)=0. Logo h(y) é constante, que podemos tomar zero, ficando
f(x,y)=xy

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralCy,dx + x,dy =fl(2,2r)-fl(1,1r) =(2cdot2)-(1cdot1) =4-1 =3

Resposta

3

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