Calcule as seguintes integrais observando que o denominador possui termos não fatoráveis.
integral 2-8 x1+4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2 - 8x1 + 4x^2,dx
Isso envolve integração de uma função racional cujo denominador 1+4x^2 não fatorável no domínio real. Vamos usar duas ideias clássicas: decompor o numerador em partes que gerem uma derivada do denominador (para logaritmo) e uma parte que gere função arctan.

Passo 2

Separe a integral em duas:
integral 2 - 8x1 + 4x^2,dx = integral 21 + 4x^2,dx ;-;integral 8x1 + 4x^2,dx

Passo 3

Calcule
integral 21 + 4x^2,dx
Observe que
integral dx1 + 4x^2 =12arctan(2x),
pois tfracddx[arctan(2x)]=21+(2x)^2=21+4x^2. Logo,
integral 21 + 4x^2,dx =2cdot12arctan(2x) =arctan(2x)

Passo 4

Calcule
integral 8x1 + 4x^2,dx
Use a substituição u = 1+4x^2, daí du = 8x,dx. Assim
integral 8x1 + 4x^2,dx =integral duu =ln|u| =lnl(1+4x^2r)
Como na integral original esse termo aparece com sinal negativo, teremos -ln(1+4x^2).

Passo 5

Reunindo os resultados das duas partes, a integral fica
integral 2 - 8x1 + 4x^2,dx =arctan(2x) -lnl(1+4x^2r) +C

Resposta

boxedarctan(2x) ;-;lnl(1+4x^2r)+C

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