Um tubo com 1,00 m de comprimento é fechado em uma extremidade. Uma corda esticada é colocada perto da extremidade aberta. A corda tem 0,1 m de comprimento e 10 g de massa, está fixa nas duas extremidades e oscila no segundo harmônico. Devido à ressonância, ela faz a coluna de ar no tubo oscilar na sua frequência fundamental. Determine (a) a frequência fundamental da coluna de ar e (b) a tensão da corda.

Passo 1

O enunciado dá um tubo de 1,00 m de comprimento, fechado numa extremidade, e uma corda de 0,10 m de comprimento e massa 0,010 kg, fixa nas duas extremidades, que oscila em seu segundo harmônico. Devido à ressonância, a corda faz a coluna de ar oscilar em sua frequência fundamental.
Conteúdo a usar:
– frequência fundamental de um tubo fechado:
ftubo = v4L;
– frequência do n-ésimo harmônico de uma corda de comprimento Lcorda:
fn = n2Lcorda,vcorda;
– velocidade de onda na corda em termos da tensão T e da densidade linear mu:
vcorda = raizTmu

Passo 2

Assumindo a velocidade do som no ar como v = 340 m/s, a frequência fundamental do tubo é
ftubo = v4L = 3404 cdot 1,00 = 85 Hz

Passo 3

No segundo harmônico da corda, n=2, o comprimento de onda é
lambda2 = 2,Lcorda2 = Lcorda = 0,10 m
Como a corda ressoa com ftubo=85 Hz, a velocidade de propagação nessa corda vale
vcorda = ftubo,lambda2 = 85 times 0,10 = 8,5 m/s

Passo 4

A densidade linear da corda é
mu = mLcorda = 0,0100,10 = 0,10 kg/m
Como vcorda = raizT/mu, isolamos a tensão:
T = mu,vcorda^2 = 0,10 times (8,5)^2 = 7,225 N approx 7,22 N

Resposta

a A frequência fundamental da coluna de ar é 85 Hz.
b A tensão da corda é aproximadamente 7,22 N.

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