Calcule as seguintes integrais:
\oint_{|z|=3} \frac{\cos \left(z^{2}+3 z-1\right)}{(2 z+3)^{2}} d z.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=3} \frac{\cos\!\bigl(z^{2}+3 z-1\bigr)}{(2 z+3)^{2}}\,dz.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é \dfrac{\cos\!\bigl(z^{2}+3 z-1\bigr)}{(2 z+3)^{2}}.
  • O denominador zera quando 2z+3=0, ou seja em z_{0}=-\dfrac{3}{2}.
  • A curva de integração é o círculo |z|=3. Como |z_{0}|=\dfrac{3}{2}<3, o ponto singular z_{0} está dentro do contorno.
  • O singular em z_{0} é de ordem 2, pois o fator (2z+3)^{2} tem multiplicidade 2.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta do que vou usar — só identificação do pedido): como há um único singular isolado dentro do contorno, usarei o Teorema dos Resíduos: a integral vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos dentro do círculo. Aqui há apenas o polo de ordem 2 em z_{0}=-\tfrac{3}{2}, então basta calcular \operatorname{Res}(f,z_{0}) e multiplicar por 2\pi i.

Passo 3

Escrever a função em forma adequada e lembrar uma fórmula útil.
Coloca-se z_{0}=-\dfrac{3}{2}. Note que
2z+3 = 2\bigl(z - z_{0}\bigr), \qquad (2z+3)^{2} = 4\bigl(z - z_{0}\bigr)^{2}.
Assim o integrando pode ser reescrito como
f(z)=\frac{\cos\!\bigl(z^{2}+3 z-1\bigr)}{(2 z+3)^{2}} =\frac{1}{4}\,\frac{\cos\!\bigl(z^{2}+3 z-1\bigr)}{\bigl(z-z_{0}\bigr)^{2}}.
Defina g(z)=\dfrac{1}{4}\cos\!\bigl(z^{2}+3 z-1\bigr). A função g é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), logo o pólo em z_{0} vem só do fator \bigl(z-z_{0}\bigr)^{-2}.
Lembrando a fórmula de Cauchy para derivadas (ou a relação entre resíduos e derivadas): se g é analítica em z_{0}, então
\operatorname{Res}\!\left(\frac{g(z)}{(z-z_{0})^{2}},z_{0}\right)=g'(z_{0}).
Portanto, para nossa função,
\operatorname{Res}\bigl(f,z_{0}\bigr)=g'(z_{0}).

Passo 4

Calcular g'(z) explicitamente e avaliá-lo em z_{0}.
Temos g(z)=\dfrac{1}{4}\cos\!\bigl(\varphi(z)\bigr) com \varphi(z)=z^{2}+3z-1. Diferenciando:
g'(z)=\frac{1}{4}\cdot\bigl(-\sin(\varphi(z))\bigr)\cdot\varphi'(z) = -\frac{1}{4}\sin\!\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)\cdot(2z+3).
Agora avalia em z_{0}=-\dfrac{3}{2}. Observe que 2z_{0}+3=2\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)+3= -3+3=0. Logo
g'(z_{0}) = -\frac{1}{4}\sin\!\bigl(z_{0}^{2}+3z_{0}-1\bigr)\cdot 0 = 0.

Passo 5

Aplicar o Teorema dos Resíduos e concluir. Como \operatorname{Res}(f,z_{0})=g'(z_{0})=0, tem-se
\oint_{|z|=3} \frac{\cos\!\bigl(z^{2}+3 z-1\bigr)}{(2 z+3)^{2}}\,dz =2\pi i\cdot \operatorname{Res}\bigl(f,z_{0}\bigr) =2\pi i\cdot 0=0.

Resposta

0

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