Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é
. - O denominador zera quando
, ou seja em . - A curva de integração é o círculo
. Como , o ponto singular está dentro do contorno. - O singular em
é de ordem 2, pois o fator tem multiplicidade 2.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta do que vou usar — só identificação do pedido): como há um único singular isolado dentro do contorno, usarei o Teorema dos Resíduos: a integral vale
vezes a soma dos resíduos dos polos dentro do círculo. Aqui há apenas o polo de ordem 2 em
, então basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 3
Escrever a função em forma adequada e lembrar uma fórmula útil.
Coloca-se . Note que
Coloca-se
Assim o integrando pode ser reescrito como
Defina
. A função
é inteira (analítica em todo
), logo o pólo em
vem só do fator
.
Lembrando a fórmula de Cauchy para derivadas (ou a relação entre resíduos e derivadas): se
é analítica em
, então
Portanto, para nossa função,
Passo 4
Calcular
explicitamente e avaliá-lo em
.
Temos com
. Diferenciando:
Temos
Agora avalia em
. Observe que
. Logo
Passo 5
Aplicar o Teorema dos Resíduos e concluir. Como
, tem-se