Mostre que f(z)=\frac{z^{4}}{\left|z^{4}\right|+1} não é analítica (em \mathbb{C} ).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=\frac{z^{4}}{\left|z^{4}\right|+1}
não é analítica em \mathbb{C}.
Informações dadas:
A função é definida para todo z\in\mathbb{C}.
Lembrar que \left|z^{4}\right|=\left|z\right|^{4}.
Objetivo: provar que não existe um aberto em \mathbb{C} onde f seja holomorfa (analítica).
Passo 2
Vamos lembrar o conceito e uma ferramenta útil.
Definição (em linguagem direta): dizer que f é analítica (ou holomorfa) num ponto z_{0} significa que existe um vizinhança aberta de z_{0} em que f é complexamente diferenciável em todos os pontos dessa vizinhança. Isto é, ser holomorfo é ser diferenciável em um conjunto aberto.
Ferramenta prática (Wirtinger / condição equivalente às equações de Cauchy–Riemann): se f é uma função suave das variáveis z e \overline{z} (tratando z e \overline{z} como independentes), então uma condição necessária e suficiente para f ser holomorfa em uma região é
\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}=0
em toda essa região (desde que as derivadas existam e sejam contínuas). Aqui as derivadas de Wirtinger são definidas por combinações das derivadas em x,y, mas para nossa conta basta usar regras formais: \partial z/\partial\overline{z}=0 e \partial\overline{z}/\partial\overline{z}=1.
Explicação curta e intuitiva: se f depende de \overline{z} de maneira não trivial, normalmente \partial f/\partial\overline{z}\neq0 e então f não é holomorfa.
Passo 3
Reescrevendo a função evidenciando dependência em \overline{z}. Usamos \left|z\right|^{4}=z^{2}\overline{z}^{2}. Assim
Da expressão obtida, o numerador é -2z^{6}\overline{z}. Esse numerador é zero exatamente quando z=0. Para qualquer z\neq0 tem-se z^{6}\overline{z}\neq0 e, como o denominador é sempre positivo (não nulo), obtemos
\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}\neq0 \quad\text{para todo } z\neq0.
Logo em qualquer ponto z\neq0 a condição \partial f/\partial\overline{z}=0 falha, o que impede f de ser holomorfa num entorno de qualquer z\neq0.
Passo 6
Examinar o ponto z=0.
Primeiro, f(0)=0. Verificamos se f é complexamente diferenciável em 0 (isto é, se o limite do quociente incremental existe). Para h\to0,
Como |h|\to0 implica |h|^{4}\to0, o quociente tende a 0. Assim o limite existe e
f'(0)=0.
Portanto f é diferenciável em z=0 (apenas nesse ponto, como cálculo mostra).
Passo 7
Concluir sobre analiticidade em \mathbb{C}.
Ser analítica (holomorfa) em \mathbb{C} exige ser holomorfa em todo ponto de um aberto — em particular, num entorno de cada ponto. Já vimos que:
para z\neq0 tem \partial f/\partial\overline{z}\neq0, logo f não é holomorfa em nenhum entorno de z\neq0;
em z=0f é apenas diferenciável isoladamente (derivada existe em 0), mas não existe um entorno de 0 onde f seja holomorfa (porque todo entorno de 0 contém pontos z\neq0 onde \partial f/\partial\overline{z}\neq0).
Logo não existe aberto em \mathbb{C} onde f seja holomorfa. Em outras palavras, f não é analítica em \mathbb{C}.