Calcule as seguintes integrais:
\oint_{|z|=1} \frac{e^{2 z}}{z^{4}} d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
\displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{e^{2 z}}{z^{4}}\,dz.
Informações dadas e suposições que vou usar:
  • O contorno é o círculo \{z:|z|=1\}, centrado na origem; assumo orientação positiva (anti-horária), que é a convenção usual.
  • A função integrada é \dfrac{e^{2z}}{z^{4}}.
  • Observação importante: há uma singularidade em z=0 (polo de ordem 4), e esse ponto está dentro do contorno |z|=1.

Passo 2

Vou usar uma fórmula clássica de integrais complexas (uma forma de Cauchy para derivadas). Vou enunciar e explicar a fórmula antes de aplicar.
Fórmula (Cauchy para derivadas). Se f é holomorfa (analítica) em uma vizinhança do disco fechado centrado em z_0 e n é inteiro não-negativo, então
\oint_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(z_0).
O que cada símbolo significa:
  • f^{(n)}(z_0) é a n-ésima derivada de f avaliada em z_0.
  • n! é o fatorial de n.
  • O lado esquerdo é a integral ao longo do círculo de raio r centrado em z_0.
    Condições: f deve ser analítica em e dentro do contorno; então qualquer singularidade deve estar toda na potência (z-z_0)^{-(n+1)}.
Intuição curta: a fórmula sai ao expandir f em série de Taylor em torno de z_0 e integrar termo a termo; o único termo que sobrevive à integração é o termo de ordem (z-z_0)^{-1}, que está ligado à derivada de ordem n.

Passo 3

Identificar f, z_0 e n no nosso problema:
  • Temos integrando \dfrac{e^{2z}}{z^{4}}. Posso identificar z_0=0.
  • Posso escrever \dfrac{e^{2z}}{z^{4}}=\dfrac{f(z)}{(z-0)^{4}} com f(z)=e^{2z}.
  • Aqui (z-0)^{4}=(z-0)^{n+1} com n+1=4, logo n=3.
A função f(z)=e^{2z} é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), portanto as hipóteses da fórmula de Cauchy para derivadas valem.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias de f(z)=e^{2z} e avaliá-las em 0.
Derivadas:
f(z)=e^{2z}, \qquad f'(z)=2e^{2z}, \qquad f''(z)=4e^{2z}, \qquad f^{(3)}(z)=8e^{2z}.
Avaliação em z=0:
f^{(3)}(0)=8e^{0}=8.
Agora aplico a fórmula com n=3:
\oint_{|z|=1}\frac{e^{2z}}{z^{4}}\,dz=\frac{2\pi i}{3!}\,f^{(3)}(0).
Substituindo f^{(3)}(0)=8 e 3!=6:
\oint_{|z|=1}\frac{e^{2z}}{z^{4}}\,dz=\frac{2\pi i}{6}\cdot 8.
Simplificando:
\frac{2\pi i}{6}\cdot 8=\frac{16\pi i}{6}=\frac{8\pi i}{3}.

Passo 5

(Verificação alternativa por série de potências — opção útil para aprendizagem.)
Expandir e^{2z} em série de Taylor em torno de 0:
e^{2z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2z)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k}{k!}z^k.
Dividindo por z^4:
\frac{e^{2z}}{z^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k}{k!}z^{k-4}.
A integral ao redor do círculo extrai 2\pi i vezes o coeficiente de z^{-1} (ou seja, a parte principal/resíduo). Para z^{k-4} ser z^{-1} precisamos de k-4=-1\Rightarrow k=3. O coeficiente para k=3 é \dfrac{2^3}{3!}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}. Logo a integral é
2\pi i\cdot \frac{4}{3}=\frac{8\pi i}{3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{8\pi i}{3}

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