Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
Informações dadas e suposições que vou usar:
Informações dadas e suposições que vou usar:
- O contorno é o círculo
, centrado na origem; assumo orientação positiva (anti-horária), que é a convenção usual. - A função integrada é
. - Observação importante: há uma singularidade em
(polo de ordem 4), e esse ponto está dentro do contorno .
Passo 2
Vou usar uma fórmula clássica de integrais complexas (uma forma de Cauchy para derivadas). Vou enunciar e explicar a fórmula antes de aplicar.
Fórmula (Cauchy para derivadas). Se
é holomorfa (analítica) em uma vizinhança do disco fechado centrado em
e
é inteiro não-negativo, então
O que cada símbolo significa:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de . - O lado esquerdo é a integral ao longo do círculo de raio
centrado em .
Condições:deve ser analítica em e dentro do contorno; então qualquer singularidade deve estar toda na potência .
Intuição curta: a fórmula sai ao expandir
em série de Taylor em torno de
e integrar termo a termo; o único termo que sobrevive à integração é o termo de ordem
, que está ligado à derivada de ordem
.
Passo 3
Identificar
,
e
no nosso problema:
- Temos integrando
. Posso identificar . - Posso escrever
com . - Aqui
com , logo .
A função
é inteira (analítica em todo
), portanto as hipóteses da fórmula de Cauchy para derivadas valem.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias de
e avaliá-las em
.
Derivadas:
Avaliação em
:
Agora aplico a fórmula com
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 5
(Verificação alternativa por série de potências — opção útil para aprendizagem.)
Expandir
em série de Taylor em torno de
:
Dividindo por
:
A integral ao redor do círculo extrai
vezes o coeficiente de
(ou seja, a parte principal/resíduo). Para
ser
precisamos de
. O coeficiente para
é
. Logo a integral é
confirmando o resultado anterior.