Considere o campo vetarial
.
a) Encontre o domínio de
. É um domínio simplesmente conexa?
b). Confira que
é irrotacional no domínio dele;
c) Encontre valor de
, sendo
, no sentido anti-horário.
a) Encontre o domínio de
b). Confira que
c) Encontre valor de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
Asking-se:
- (a) Encontrar o domínio de orientada no sentido anti-horário.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O denominador
e
; - A componente
é simplesmente ; - A curva
é a interseção do cilindro com o plano — é uma curva fechada (uma circunferência espacial).
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Para que
esteja bem definida, é preciso que o denominador não seja zero. Defina
O denominador anula-se exatamente quando
, isto é, quando
e
, ou seja, quando
e
. Note que
pode ser qualquer número nesse caso. Portanto o ponto de singularidade é a reta
Logo o domínio de
é
Agora: o domínio
é simplesmente conexo? Intuição e argumento curto:
- Corte fora uma reta de
. Se se “projetar” ao longo da direção , a configuração é homotópica a com um ponto removido (o ponto no plano ). E não é simplesmente conexo (tem lacunas para loops que circulam o ponto). - Concretamente: existe um laço em
(por exemplo a circunferência no plano centrada em de raio pequeno) que não pode ser contraído continuamente a um ponto sem atravessar a reta removida.
Portanto
não é simplesmente conexo.
Passo 3
Calcular
explicitamente para verificar que é zero no domínio
.
Escrevemos
com
A rotação é dada por
Calculemos componente a componente:
- Primeira componente:
porque
não depende de
. Logo a primeira componente é
.
- Segunda componente:
logo a segunda componente é
.
- Terceira componente: aqui é necessário desenvolver as derivadas em
e . Usando , , , temos
Calcule
:
Calcule
:
Subtraindo,
Portanto a terceira componente também é
.
Conclusão deste passo:
Passo 4
Interpretação didática do resultado
em
.
- Quando o rotacional de um campo é zero em um conjunto simplesmente conexo, o campo é gradiente de alguma função escalar (campo conservativo) nesse conjunto. Isso significa que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e que a integral sobre qualquer curva fechada é zero.
- Contudo aqui o domínio
não é simplesmente conexo (veja Passo 2). Nesses casos um campo com rotacional zero pode não ser potencial globalmente: pode haver singularidades “no buraco” que tornam a integral ao redor do buraco não-nula. Um exemplo clássico é o campo angular em coordenadas polares; ele é irrotacional fora do centro, mas ao redor do centro a integral sobre uma volta completa é (ou ), não zero. Isso é exatamente o que ocorre com a parte de : é relacionada ao gradiente (multivalorado) do ângulo em torno do ponto .
Passo 5
Preparar o cálculo da integral de linha
usando decomposição útil do campo.
Separe
onde
Então
Calculemos
. Note que
. Mas
é diferencial exata:
Como
é curva fechada, a integral de uma diferencial exata ao longo de
é zero:
Portanto
Passo 6
Interpretar
em termos do ângulo polar em torno do ponto
.
Lembrando
,
,
. Considere a função ângulo
que dá o ângulo polar medido a partir do eixo
. As derivadas parciais são
Logo o gradiente de
é
Compare com
. Observa-se que
Isto é importante: para um deslocamento
vale
Portanto a integral ao longo de
é
Passo 7
Determinar a variação total de
ao percorrer
(isto é, o índice de giro ou número de voltas em torno de
).
A projeção de
no plano
é simplesmente a circunferência
Investigue se o ponto
está dentro dessa circunferência. A distância do centro
até
é
e como
, o ponto
está no interior da circunferência de raio
. Assim a curva
(quando vista na projeção no plano
) circula uma vez em torno de
. O número de voltas (winding number) é
se a orientação é contrária ao relógio (anti-horário) na projeção; o enunciado diz “no sentido anti-horário”, portanto a variação total de
ao percorrer
é
.
Aplicando o resultado do passo anterior:
(Observação sobre sinal:
dá o sinal negativo; se a orientação fosse horário trocar-se-ia o sinal.)
Passo 8
Somando as contribuições (lembre que a componente
deu zero), obtemos
Resposta
(a)
. Não é simplesmente conexo.
(b)
em todo
.
(c)
.