Considere o campo vetarial \vec{F}(x, y, z)=\frac{y-2}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}} \hat{\imath}-\frac{x-1}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}} \hat{\jmath}+z \hat{k}.
a) Encontre o domínio de \vec{F}. É um domínio simplesmente conexa?
b). Confira que \vec{F} é irrotacional no domínio dele;
c) Encontre valor de I=\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo G: x^{2}+y^{2}=9, x+y+z=3 \sqrt{2}, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\frac{y-2}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\,\hat{\imath}-\frac{x-1}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
Asking-se:
  • (a) Encontrar o domínio de \vec{F}\) e dizer se esse domínio é simplesmente conexo; - (b) Verificar que \(\vec{F}\) é irrotacional (isto é, \(\nabla\times\vec{F}=0\)) no domínio; - \text{(c)} Calcular \(I=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}\), onde \(C\) é a curva dada por \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}=9,\\\ x+y+z=3\sqrt{2}, \end{cases}orientada no sentido anti-horário.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O denominador (x-1)^2+(y-2)^2\] aparece nas componentes \(i e j;
  • A componente k é simplesmente z;
  • A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=9 com o plano x+y+z=3\sqrt{2} — é uma curva fechada (uma circunferência espacial).

Passo 2

Determinar o domínio de \vec{F}.
Para que \vec{F} esteja bem definida, é preciso que o denominador não seja zero. Defina
u:=x-1,\qquad v:=y-2,\qquad r^{2}:=u^{2}+v^{2}=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}.
O denominador anula-se exatamente quando r^{2}=0, isto é, quando u=0 e v=0, ou seja, quando x=1 e y=2. Note que z pode ser qualquer número nesse caso. Portanto o ponto de singularidade é a reta
L=\{(1,2,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
Logo o domínio de \vec{F} é
D=\mathbb{R}^{3}\setminus L=\mathbb{R}^{3}\setminus\{(1,2,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
Agora: o domínio D é simplesmente conexo? Intuição e argumento curto:
  • Corte fora uma reta de \mathbb{R}^{3}. Se se “projetar” ao longo da direção z, a configuração é homotópica a \mathbb{R}^{2} com um ponto removido (o ponto (1,2) no plano xy). E \mathbb{R}^{2}\setminus\{p\} não é simplesmente conexo (tem lacunas para loops que circulam o ponto).
  • Concretamente: existe um laço em D (por exemplo a circunferência no plano z=0 centrada em (1,2) de raio pequeno) que não pode ser contraído continuamente a um ponto sem atravessar a reta removida.
Portanto D não é simplesmente conexo.

Passo 3

Calcular \nabla\times\vec{F} explicitamente para verificar que é zero no domínio D.
Escrevemos \vec{F}=(P,Q,R) com
P(x,y,z)=\frac{y-2}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}},\qquad Q(x,y,z)=-\frac{x-1}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}},\qquad R(x,y,z)=z.
A rotação é dada por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{k}.
Calculemos componente a componente:
  1. Primeira componente:
\frac{\partial R}{\partial y}= \frac{\partial z}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0
porque Q não depende de z. Logo a primeira componente é 0.
  1. Segunda componente:
\frac{\partial P}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}=0,
logo a segunda componente é 0.
  1. Terceira componente: aqui é necessário desenvolver as derivadas em x e y. Usando u=x-1, v=y-2, r^{2}=u^{2}+v^{2}, temos
P=\frac{v}{r^{2}},\qquad Q=-\frac{u}{r^{2}}.
Calcule \partial Q/\partial x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\left(-u r^{-2}\right) =-r^{-2}+(-u)\cdot(-2)r^{-4}\cdot u =-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2u^{2}}{r^{4}}.
Calcule \partial P/\partial y:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\left(v r^{-2}\right) = r^{-2}+v\cdot(-2)r^{-4}\cdot v =\frac{1}{r^{2}}-\frac{2v^{2}}{r^{4}}.
Subtraindo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\left(-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2u^{2}}{r^{4}}\right)-\left(\frac{1}{r^{2}}-\frac{2v^{2}}{r^{4}}\right) =-\frac{2}{r^{2}}+\frac{2(u^{2}+v^{2})}{r^{4}} =-\frac{2}{r^{2}}+\frac{2r^{2}}{r^{4}}=0.
Portanto a terceira componente também é 0.
Conclusão deste passo:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\quad\text{em todo ponto de }D.

Passo 4

Interpretação didática do resultado \nabla\times\vec{F}=0 em D.
  • Quando o rotacional de um campo é zero em um conjunto simplesmente conexo, o campo é gradiente de alguma função escalar (campo conservativo) nesse conjunto. Isso significa que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e que a integral sobre qualquer curva fechada é zero.
  • Contudo aqui o domínio D não é simplesmente conexo (veja Passo 2). Nesses casos um campo com rotacional zero pode não ser potencial globalmente: pode haver singularidades “no buraco” que tornam a integral ao redor do buraco não-nula. Um exemplo clássico é o campo angular em coordenadas polares; ele é irrotacional fora do centro, mas ao redor do centro a integral sobre uma volta completa é 2\pi (ou -2\pi), não zero. Isso é exatamente o que ocorre com a parte xy de \vec{F}: é relacionada ao gradiente (multivalorado) do ângulo em torno do ponto (1,2).

Passo 5

Preparar o cálculo da integral de linha \displaystyle I=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando decomposição útil do campo.
Separe \vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2} onde
\vec{F}_{1}(x,y)=\frac{y-2}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\,\hat{\imath}-\frac{x-1}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\,\hat{\jmath},
\vec{F}_{2}(x,y,z)=0\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
Então
I=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}\vec{F}_{1}\cdot d\vec{r}+\oint_{C}\vec{F}_{2}\cdot d\vec{r}.
Calculemos \oint_{C}\vec{F}_{2}\cdot d\vec{r}. Note que \vec{F}_{2}\cdot d\vec{r}=z\,dz. Mas z\,dz é diferencial exata:
z\,dz=\tfrac{1}{2}\,d(z^{2}).
Como C é curva fechada, a integral de uma diferencial exata ao longo de C é zero:
\oint_{C}z\,dz=\tfrac{1}{2}\oint_{C}d(z^{2})=0.
Portanto
I=\oint_{C}\vec{F}_{1}\cdot d\vec{r}.

Passo 6

Interpretar \vec{F}_{1} em termos do ângulo polar em torno do ponto (1,2).
Lembrando u=x-1, v=y-2, r^{2}=u^{2}+v^{2}. Considere a função ângulo
\theta(u,v)=\operatorname{atan2}(v,u),
que dá o ângulo polar medido a partir do eixo u. As derivadas parciais são
\frac{\partial\theta}{\partial u}=-\frac{v}{r^{2}},\qquad \frac{\partial\theta}{\partial v}=\frac{u}{r^{2}}.
Logo o gradiente de \theta é
\nabla\theta=\left(-\frac{v}{r^{2}},\,\frac{u}{r^{2}}\right).
Compare com \vec{F}_{1}=(P,Q)=(v/r^{2},-u/r^{2}). Observa-se que
\vec{F}_{1}=-\nabla\theta.
Isto é importante: para um deslocamento d\vec{r}=(dx,dy) vale
\vec{F}_{1}\cdot d\vec{r}=-\nabla\theta\cdot d\vec{r}=-d\theta.
Portanto a integral ao longo de C é
\oint_{C}\vec{F}_{1}\cdot d\vec{r}=-\oint_{C}d\theta=-(\text{variação total de }\theta\text{ ao percorrer }C).çã

Passo 7

Determinar a variação total de \theta ao percorrer C (isto é, o índice de giro ou número de voltas em torno de (1,2)).
A projeção de C no plano xy é simplesmente a circunferência
x^{2}+y^{2}=9.
Investigue se o ponto (1,2) está dentro dessa circunferência. A distância do centro (0,0) até (1,2) é
\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\approx 2{,}236,
e como 3>\sqrt{5}, o ponto (1,2) está no interior da circunferência de raio 3. Assim a curva C (quando vista na projeção no plano xy) circula uma vez em torno de (1,2). O número de voltas (winding number) é 1 se a orientação é contrária ao relógio (anti-horário) na projeção; o enunciado diz “no sentido anti-horário”, portanto a variação total de \theta ao percorrer C é +2\pi.
Aplicando o resultado do passo anterior:
\oint_{C}\vec{F}_{1}\cdot d\vec{r}=-(\Delta\theta)=-2\pi.
(Observação sobre sinal: \vec{F}_{1}=-\nabla\theta dá o sinal negativo; se a orientação fosse horário trocar-se-ia o sinal.)

Passo 8

Somando as contribuições (lembre que a componente z deu zero), obtemos
I=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}\vec{F}_{1}\cdot d\vec{r}+\oint_{C}\vec{F}_{2}\cdot d\vec{r}=-2\pi+0=-2\pi.

Resposta

(a) D=\mathbb{R}^{3}\setminus\{(1,2,z)\mid z\in\mathbb{R}\}. Não é simplesmente conexo.
(b) \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo D.
(c) I=\displaystyle\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-2\pi.

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