Calcule as seguintes integrais, onde os contornos, quando fechados, são todos percorridos no sentido anti-horário:
oint|z-2|=2 e^cos z2 z+7 d z

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral de contorno
oint|z-2|=2e^cos z2z+7,dz
Este é um problema de integração no plano complexo; vamos usar o Teorema de Cauchy e a análise de singularidades.

Passo 2

Identificamos as singularidades da função
f(z)=e^cos z2z+7
O numerador e^cos z é inteiro (analítico em todo C). O denominador anula-se em
2z+7=0 Longrightarrow z=-tfrac72
Portanto, há uma única singularidade simples em z=-tfrac72.

Passo 3

Devemos verificar se essa singularidade está dentro do círculo |z-2|=2. A distância do ponto z=-tfrac72 ao centro 2 é
l|2 - (-tfrac72)r| =2+tfrac72 =tfrac112 >2
Logo, z=-tfrac72 está fora do contorno.

Passo 4

Como f(z) é analítica em toda a região interior ao contorno e na sua fronteira, o Teorema de Cauchy garante que
oint|z-2|=2f(z),dz = 0

Resposta

0

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