Calcule as seguintes integrais, onde os contornos, quando fechados, são todos percorridos no sentido anti-horário:
integralC z^2 d z, onde C=z=r e^i theta: 0 <= theta <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC z^2,dz
onde C é o semicírculo de raio r dado por
z=r e^itheta:0<=theta<=pi.
O conteúdo aqui é integração de funções complexas sobre curvas, que fazemos via parametrização.

Passo 2

Vamos parametrizar C por theta de 0 a pi:
z(theta)=r e^itheta, dz = i,r e^itheta,dtheta, 0<=theta<=pi

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integralCz^2,dz =integral0^pil(r e^ithetar)^2l(i,r e^ithetar),dtheta =i,r^3integral0^pie^i3theta,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral de e^i3theta:
integral0^pie^i3theta,dtheta =[e^i3thetai3]0^pi =e^i3pi-1i3 =-1-1i3 =-2i3
Multiplicando por i,r^3, vem
i,r^3cdotl(-2i3r) =-2r^33

Resposta

-2r^33

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