O polinômio de Legendre de ordem
é definido como
Use a fórmula integral de Cauchy para a derivada de enésima ordem para converter o polinômio de Legendre na correspondente integral de Schlaefli, que é dada por
Passo 1
O enunciado dá o polinômio de Legendre pela fórmula de Rodrigues, que é
e pede para usar a fórmula integral de Cauchy para derivadas de ordem
, que afirma:
onde a curva fechada simples
envolve o ponto
num domínio onde
é analítica.
Passo 2
Tomando
, a fórmula de Cauchy dá
Substituindo na fórmula de Rodrigues:
Passo 3
Observamos que
Logo, extraindo
do numerador, obtemos a integral de Schlaefli: