O polinômio de Legendre de ordem n é definido como
Pn(x)=12^n n! d^nd x^n(x^2-1)^n
Use a fórmula integral de Cauchy para a derivada de enésima ordem para converter o polinômio de Legendre na correspondente integral de Schlaefli, que é dada por
Pn(x)=(-1)^n2^n cdot 12 pi i oint (1-z^2)^n(z-x)^n+1 d z

Passo 1

O enunciado dá o polinômio de Legendre pela fórmula de Rodrigues, que é
Pn(x)=12^n,n!,d^nd x^nl(x^2-1r)^n
e pede para usar a fórmula integral de Cauchy para derivadas de ordem n, que afirma:
f^(n)(x)=n!2pi iointf(z)(z-x)^n+1,dz,
onde a curva fechada simples oint envolve o ponto z=x num domínio onde f é analítica.

Passo 2

Tomando f(z)=(z^2-1)^n, a fórmula de Cauchy dá
d^ndx^nl(x^2-1r)^n =n!2pi ioint(z^2-1)^n(z-x)^n+1,dz
Substituindo na fórmula de Rodrigues:
Pn(x) =12^n,n!,d^ndx^nl(x^2-1r)^n =12^n,n!cdotn!2pi ioint(z^2-1)^n(z-x)^n+1,dz =12^ncdot12pi ioint(z^2-1)^n(z-x)^n+1,dz

Passo 3

Observamos que
(z^2-1)^n=(-1)^n(1-z^2)^n
Logo, extraindo (-1)^n do numerador, obtemos a integral de Schlaefli:
Pn(x) =(-1)^n2^ncdot12pi ioint(1-z^2)^n(z-x)^n+1,dz

Resposta

Pn(x) =(-1)^n2^n;12pi ioint(1-z^2)^n(z-x)^n+1,dz

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