Calcule as seguintes integrais no paralelepípedo retangular dado:
\iiint_{W} e^{x y} y z d V, onde W=[1,3] \times[2,3] \times[-1,2].

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{W} e^{x y}\,y\,z\,dV,
onde W=[1,3]\times[2,3]\times[-1,2].
Como W é um paralelepípedo retangular, podemos calcular a integral como iterada em x, y e z. Note que o integrando se separa em uma parte que depende só de (x,y) e outra que depende só de z, então vamos fatorar a integral em z primeiro.

Passo 2

Calculemos
\int_{z=-1}^{2} z\,dz.
Temos
\int_{-1}^{2} z\,dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_{-1}^{2} = \frac{2^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2} =2-\tfrac12 =\tfrac32.
Logo
\iiint_{W} e^{xy}\,y\,z\,dV = \frac32\;\int_{x=1}^{3}\!\!\int_{y=2}^{3}y\,e^{xy}\,dy\,dx.

Passo 3

Agora calcule
\int_{y=2}^{3}y\,e^{xy}\,dy.
Use integração por partes ou observe que
\frac{d}{dy}\!\Bigl(\frac{e^{xy}}{x}\Bigr) = \frac{x\,e^{xy}\,y - e^{xy}}{x^2} = e^{xy}\Bigl(\frac{y}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr) = y\,e^{xy} - \frac{e^{xy}}{x},
isto é
y\,e^{xy} = \frac{d}{dy}\!\Bigl(\frac{e^{xy}}{x}\Bigr) + \frac{e^{xy}}{x}.
Mais diretamente, um antiderivado é
\int y\,e^{xy}\,dy = e^{xy}\Bigl(\frac{y}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)+C.
Portanto
\int_{2}^{3}y\,e^{xy}\,dy = e^{3x}\Bigl(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr) - e^{2x}\Bigl(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr).

Passo 4

Fica então
\int_{1}^{3}\Bigl[e^{3x}\Bigl(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr) - e^{2x}\Bigl(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)\Bigr]dx.
Mas note que
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{e^{ax}}{x}\Bigr) = e^{ax}\Bigl(\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr).
Logo
\int e^{3x}\Bigl(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)dx = \frac{e^{3x}}{x}, \qquad \int e^{2x}\Bigl(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)dx = \frac{e^{2x}}{x}.
Portanto a integral em x vale
\left[\frac{e^{3x}}{x}-\frac{e^{2x}}{x}\right]_{1}^{3} = \Bigl(\frac{e^{9}}{3}-\frac{e^{6}}{3}\Bigr) - \bigl(e^{3}-e^{2}\bigr).

Passo 5

Multiplicando pelo fator \tfrac32 obtido no Passo 2, temos
\iiint_{W} e^{xy}\,y\,z\,dV = \frac32\left[\Bigl(\frac{e^{9}-e^{6}}{3}\Bigr)-(e^{3}-e^{2})\right] = \frac{e^{9}-e^{6}-3e^{3}+3e^{2}}{2}.

Resposta

\boxed{\frac{e^{9}-e^{6}-3e^{3}+3e^{2}}{2}}.

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