Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.
13-14 A parte da superfície
que está acima do disco
13-14 A parte da superfície
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da superfície
que está acima do disco
.
O conteúdo é cálculo de área de superfície dada por em um domínio
, usando a fórmula
O conteúdo é cálculo de área de superfície dada por
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
.
Em coordenadas cartesianas, seja . Como
depende só de
, vale
Em coordenadas cartesianas, seja
e então
Passo 3
Passamos a integrar em coordenadas polares
. O elemento de área é
, e a fórmula fica
Passo 4
Para simplificar a integral unidimensional, fazemos
,
, logo
. Assim
Passo 5
Usando uma calculadora (ou software) para aproximar
encontra-se
. Portanto
Resposta
A área da superfície é