Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.
13-14 A parte da superfície z=1 /\left(1+x^{2}+y^{2}\right) que está acima do disco x^{2}+y^{2} \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície
z = \frac{1}{1 + x^2 + y^2}
que está acima do disco x^2 + y^2 \le 1.
O conteúdo é cálculo de área de superfície dada por z = f(x,y) em um domínio D\subset\mathbb{R}^2, usando a fórmula
\text{Área} = \iint_{D} \sqrt{1 + \bigl(f_x(x,y)\bigr)^2 + \bigl(f_y(x,y)\bigr)^2}\,dA.Á

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=1/(1+x^2+y^2).
Em coordenadas cartesianas, seja r^2 = x^2+y^2. Como f depende só de r, vale
f_r = \frac{d}{dr}\Bigl(\frac1{1+r^2}\Bigr) = -\frac{2r}{(1+r^2)^2},
e então
f_x^2 + f_y^2 = \bigl(f_r\bigr)^2 = \frac{4r^2}{(1+r^2)^4}.

Passo 3

Passamos a integrar em coordenadas polares (r,\theta). O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta, e a fórmula fica
\text{Área} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\;r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{1} r \,\sqrt{1 + \frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\;dr.Á

Passo 4

Para simplificar a integral unidimensional, fazemos u = r^2, du = 2r\,dr, logo r\,dr = du/2. Assim
\text{Área} = 2\pi \int_{0}^{1} r \sqrt{1 + \frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\,dr = \pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{4u}{(1+u)^4}} \;du.Á

Passo 5

Usando uma calculadora (ou software) para aproximar
I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{4u}{(1+u)^4}} \;du,
encontra-se I\approx 1,1559. Portanto
\text{Área} = \pi\;I \approx \pi \times 1,1559 \approx 3,6320.Á

Resposta

A área da superfície é
\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{4u}{(1+u)^4}} \;du \approx 3,6320.

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