Calcule as seguintes integrais:
(1 ponto cada item)
integral x^4+2x^3-4 x^2+5 x-2 d x;

Passo 1

Temos a integral
integral x^4+2x^3-4x^2+5x-2,dx
O conteúdo que vamos usar é divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e depois decomposição em frações parciais para a parte racional.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios de grau 4 por grau 3:
x^4+0x^3+0x^2+0x+2=(x^3-4x^2+5x-2),(x+4)+(11x^2-18x+10)
Logo,
x^4+2x^3-4x^2+5x-2=x+4+11x^2-18x+10x^3-4x^2+5x-2=x+4+11x^2-18x+10(x-1)^2(x-2)

Passo 3

Fatoramos o denominador:
x^3-4x^2+5x-2=(x-1)^2(x-2)
Escrevemos a parte fracionária como
11x^2-18x+10(x-1)^2(x-2)=Ax-2+Bx-1+C(x-1)^2

Passo 4

Multiplicando por (x-1)^2(x-2) e igualando coeficientes, obtemos
A+B=11, -2A-3B+C=-18, A+2B-2C=10
Resolvendo esse sistema vem
A=18,;B=-7,;C=-3

Passo 5

Substituindo de volta, a integral vira
integral(x+4),dx+18integraldxx-2-7integraldxx-1-3integraldx(x-1)^2
Integrando cada termo, achamos
x^22+4x+18ln|x-2|-7ln|x-1|+3x-1+C

Resposta

x^22+4x+18ln|x-2|-7ln|x-1|+3x-1+C

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