Encontre a transformada ou a transformada inversa.
F(s)=4 s-2s^2-6 s+18

Passo 1

A questão pede a transformada inversa de Laplace de F(s)= 4s-2s^2-6s+18. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace, e vamos precisar usar completar quadrado no denominador e reconhecer formas padrões de seno e cosseno modulados por um decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador para enxergarmos um termo da forma (s-a)^2+b^2:
s^2-6s+18=(s-3)^2+9
Então podemos reescrever
F(s)=4s-2(s-3)^2+3^2

Passo 3

Agora ajustamos o numerador para separar em termos padrões. Observamos que
4s-2=4(s-3)+10
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F(s)=4(s-3)(s-3)^2+3^2+10(s-3)^2+3^2

Passo 4

Usamos as fórmulas de tabela de transformada inversa:
L^-1s-a(s-a)^2+b^2=e^atcos(bt)
L^-1b(s-a)^2+b^2=e^atsin(bt)
Aplicando com a=3 e b=3, o primeiro termo vira 4e^3tcos(3t) e o segundo dá tfrac103e^3tsin(3t).

Resposta

f(t)=e^{3t}\Bigl(4\cos(3t)+\tfrac{10}{3}\sin(3t)\Bigr)

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