Calcule as seguintes integrais:
(1 ponto cada item)
integral xraiz3-2 x+x^2 d x;

Passo 1

Nesta questão vamos calcular a integral indefinida integral xraiz3 - 2x + x^2 , dx. O conteúdo principal envolve integração de funções racionais com raiz quadrada de polinômio quadrático, e vamos precisar completar o quadrado e usar substituições adequadas.

Passo 2

Observe que 3 - 2x + x^2 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2. Logo, raiz3 - 2x + x^2 = raiz(x-1)^2 + 2.
Fazendo a substituição u = x - 1, então x = u + 1 e dx = du. A integral vira: integral u + 1raizu^2 + 2 , du.

Passo 3

Separamos em duas integrais:
integral u + 1raizu^2 + 2 , du = integral uraizu^2 + 2 , du + integral 1raizu^2 + 2 , du
Para a primeira parte, usamos que a derivada de raizu^2 + a^2 é uraizu^2 + a^2. Assim,
integral uraizu^2 + 2 , du = raizu^2 + 2

Passo 4

Para a segunda parte, reconhecemos a forma padrão de integral de 1/raizu^2 + a^2:
integral 1raizu^2 + 2 , du = lnl|u + raizu^2 + 2r|

Passo 5

Juntando os resultados e voltando à variável x com u = x - 1, obtemos
raizu^2 + 2 + lnl|u + raizu^2 + 2r| + C = raiz(x-1)^2 + 2 + lnl|x - 1 + raiz(x-1)^2 + 2r| + C

Resposta

raiz(x-1)^2 + 2 + lnl|x - 1 + raiz(x-1)^2 + 2r| + C

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