Encontre a reta tangente às curvas abaixo nos pontos determinados
Use as definições e teoremas:
Definição 4: Encontrando a Equação da Reta Tangente a y-f(x0)=f^prime(x0)(x-x0) em
Passo 1: Calcule ; o ponto de tangente é .
Passo 2: Encontre e calcule , que é a inclinação da reta. Passo 3: Substitua o valor da inclinação e o ponto na forma ponto-inclinação da reta em
e) em

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a reta tangente à curva dada implicitamente por x^2y^3-2xy=6x+y+1 no ponto P(0,-1). Vamos usar derivação implícita (para achar y') e depois a forma ponto-inclinação de reta: y-y0=m(x-x0).

Passo 2

Primeiro, verificamos que P(0,-1) realmente pertence à curva: substituindo x=0 e y=-1 em x^2y^3-2xy=6x+y+1 obtemos 0-0=0+(-1)+1=0, ok. Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando de usar produto e cadeia:
ddx(x^2y^3)-ddx(2xy)=ddx(6x+y+1)
No lado esquerdo:
ddx(x^2y^3)=2x y^3+x^2cdot3y^2y' e ddx(2xy)=2y+2x y'
No lado direito:
ddx(6x+y+1)=6+y'
Somando tudo, obtemos
2x y^3+3x^2y^2y'-2y-2x y'=6+y'

Passo 3

Em seguida, agrupamos os termos com y' de um lado e os demais do outro:
3x^2y^2y'-2x y'-y'=6-2x y^3+2y
Isso dá
(3x^2y^2-2x-1)y'=6-2x y^3+2y
Logo
y'=6-2x y^3+2y3x^2y^2-2x-1
Avaliar em (0,-1): o numerador fica 6-0+2(-1)=4 e o denominador -1, então (y’\bigl|_{(0,-1)}=-4.]

Passo 4

Por fim, a reta tangente no ponto (0,-1) com inclinação m=-4 na forma ponto-inclinação é
y-(-1)=-4(x-0),
isto é
y+1=-4xLongrightarrow y=-4x-1

Resposta

y=-4x-1

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