Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
Mostre que: $ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{x-1}=\frac{1}{4}$.
Mostre que: $ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{x-1}=\frac{1}{4}$.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
sabendo que ele é do tipo
. O conteúdo aqui é limites de indeterminação e manipulação algébrica de radicais usando fatoração de diferença de potências.
Passo 2
Vamos usar a identidade de fatoração de diferença de quartas potências, isto é, para
e
:
Como
e
, temos:
Então multiplico numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora que simplificamos o fator
, podemos calcular o limite diretamente, substituindo
na expressão reduzida. Cada termo
tende a 1, então: