Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
Mostre que: $ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{x-1}=\frac{1}{4}$.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1raiz[4]x-1x-1
sabendo que ele é do tipo 0/0. O conteúdo aqui é limites de indeterminação e manipulação algébrica de radicais usando fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Vamos usar a identidade de fatoração de diferença de quartas potências, isto é, para a=x^1/4 e b=1:
a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
Como a^4=x e b^4=1, temos:
(x^1/4-1),(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1)=x-1
Então multiplico numerador e denominador por x^3/4+x^1/2+x^1/4+1:
raiz[4]x-1x-1 =(raiz[4]x-1)(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1)(x-1)(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1) =x-1(x-1)(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1) =1x^3/4+x^1/2+x^1/4+1

Passo 3

Agora que simplificamos o fator x-1, podemos calcular o limite diretamente, substituindo x=1 na expressão reduzida. Cada termo x^k/4 tende a 1, então:
limxto11x^3/4+x^1/2+x^1/4+1 =11+1+1+1 =14

Resposta

tfrac14

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