Calcule as seguintes integrais:
(6 pontos)
(6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão antes de integrar: a constante
pode ser tirada da integral. Assim obtemos
Explicação didática: quando multiplicamos o integrando por uma constante, podemos fatorar essa constante para fora da integral; isso facilita a aplicação de métodos de integração.
Passo 3
Escolha do método. O integrando
é o produto de duas funções:
(polinomial simples) e
(exponencial). Uma técnica padrão para integrais de produtos é a fórmula de integração por partes, que vem da regra do produto da diferenciação. A fórmula é
onde
e
são partes escolhidas do integrando. Aqui escolhemos:
porque derivar
simplifica (
) e integrar
é trivial (
). Essa escolha costuma ser a mais simples em provas.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes com
e
:
calculemos e
:
calculemos
Agora substituímos na fórmula:
Explicação:
e
.
Passo 5
Calcule a integral restante
. Sabemos que a primitiva de
é
. Assim
Voltando à integral com a constante
fora:
Portanto uma primitiva adequada para o integrando original é
.
Passo 6
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral definida:
com
. Calculemos:
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