Calcule as seguintes integrais:
(6 pontos) \int_{1}^{2} 2 x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} 2 x e^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 2 x e^{x}.
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão antes de integrar: a constante 2 pode ser tirada da integral. Assim obtemos
\int_{1}^{2} 2 x e^{x}\,dx = 2 \int_{1}^{2} x e^{x}\,dx.
Explicação didática: quando multiplicamos o integrando por uma constante, podemos fatorar essa constante para fora da integral; isso facilita a aplicação de métodos de integração.

Passo 3

Escolha do método. O integrando x e^{x} é o produto de duas funções: x (polinomial simples) e e^{x} (exponencial). Uma técnica padrão para integrais de produtos é a fórmula de integração por partes, que vem da regra do produto da diferenciação. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas do integrando. Aqui escolhemos:
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
porque derivar u simplifica ( du = dx) e integrar dv é trivial ( v = e^{x}). Essa escolha costuma ser a mais simples em provas.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes com u=x e dv=e^{x}\,dx:
calculemos du e v:
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Agora substituímos na fórmula:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
Explicação: u v = x e^{x} e \int v\,du = \int e^{x}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral restante \int e^{x}\,dx. Sabemos que a primitiva de e^{x} é e^{x}. Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
Voltando à integral com a constante 2 fora:
2\int x e^{x}\,dx = 2\bigl(e^{x}(x-1)\bigr) + C.
Portanto uma primitiva adequada para o integrando original é F(x)=2e^{x}(x-1).

Passo 6

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{1}^{2} 2 x e^{x}\,dx = F(2)-F(1),
com F(x)=2e^{x}(x-1). Calculemos:
F(2)=2 e^{2}(2-1)=2 e^{2},
F(1)=2 e^{1}(1-1)=2 e\cdot 0 = 0.
Logo
\int_{1}^{2} 2 x e^{x}\,dx = 2 e^{2} - 0 = 2 e^{2}.

Resposta

2 e^{2}

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