Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q. Calcule também a direção segundo a qual f cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,, P=(-2,3,1), Q=(0,-5,4)

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q; (2) a direção na qual f cresce mais rapidamente em P; (3) a taxa desse crescimento máximo. Dados fornecidos:
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \qquad P=(-2,3,1), \qquad Q=(0,-5,4).
Anotei também que a direção "de P a Q" é o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P. A partir desses dados vamos calcular passo a passo o que foi pedido.

Passo 2

Primeiro precisamos do vetor direção unitário que aponta de P para Q. Explico: um vetor direção que liga P a Q é
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0-(-2),\,-5-3,\,4-1)=(2,-8,3).
Para usar esse vetor como direção numa derivada direcional precisamos normalizá‑lo (transformá‑lo num vetor unitário). A norma (comprimento) de \overrightarrow{PQ} é
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{2^{2}+(-8)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+64+9}=\sqrt{77}.
Então o vetor unitário na direção de P a Q é
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|} =\left(\frac{2}{\sqrt{77}},-\frac{8}{\sqrt{77}},\frac{3}{\sqrt{77}}\right).
(Resumo do porquê: a derivada direcional usa sempre um vetor unitário; para isso divide‑se qualquer vetor pela sua norma.)

Passo 3

Agora precisamos do gradiente de f. Explico o conceito: o gradiente de uma função real de várias variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais; ele aponta na direção de máximo crescimento e seu produto escalar com um vetor unitário dá a derivada direcional nessa direção. Para a nossa função f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é conveniente escrever f=\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{1/2}. Calculando as derivadas parciais,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},
e analogamente para y e z. Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\; \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\; \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right).
Observação importante (útil em prova): para f igual à distância ao origem, \nabla f é o vetor radial (x,y,z) normalizado.

Passo 4

Avalio o gradiente em P=(-2,3,1). Primeiro a norma de P (que já apareceu na fórmula) é
\|P\|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
Então
\nabla f(P)=\left(-\frac{2}{\sqrt{14}},\;\frac{3}{\sqrt{14}},\;\frac{1}{\sqrt{14}}\right).
Nota didática: este vetor tem norma 1 porque \nabla f(x,y,z) neste caso é sempre o vetor (x,y,z) dividido pela sua norma, logo \|\nabla f\|=1 para todo ponto diferente da origem.

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Já temos
\nabla f(P)=\left(-\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}}\right), \qquad \mathbf{u}=\left(\frac{2}{\sqrt{77}},-\frac{8}{\sqrt{77}},\frac{3}{\sqrt{77}}\right).
Faço o produto escalar termo a termo:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} =\left(-\frac{2}{\sqrt{14}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{77}}\right) +\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)\left(-\frac{8}{\sqrt{77}}\right) +\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{77}}\right).
Agrupando o fator comum \frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{77}} e calculando os produtos internos:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} =\frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{77}}\big(-4-24+3\big) =\frac{-25}{\sqrt{14}\sqrt{77}}.
Uma forma alternativa (mais elegante para prova) é usar a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{P\cdot\overrightarrow{PQ}}{\|P\|\;\|\overrightarrow{PQ}\|},
porque \nabla f(P)=P/\|P\| e \mathbf{u}=\overrightarrow{PQ}/\|\overrightarrow{PQ}\|. Calculando P\cdot\overrightarrow{PQ}=(-2)\cdot 2+3\cdot(-8)+1\cdot 3=-25, e dividindo por \sqrt{14}\sqrt{77} dá o mesmo resultado.
O sinal negativo significa que, movendo‑nos de P na direção de Q, a função f diminui — ou seja, f decresce nessa direção.

Passo 6

Direção de crescimento mais rápido: por teoria, a função cresce mais rapidamente na direção do gradiente \nabla f(P). Ou seja, a direção unitária de máximo aumento em P é
\mathbf{d}_{\text{máx}}=\nabla f(P)=\left(-\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}}\right).á
Taxa máxima de crescimento: é a norma do gradiente em P, isto é
\|\nabla f(P)\|=1.
Comentário encorajador: isso faz sentido intuitivo — f mede distância à origem, então o maior aumento é seguir radialmente para fora; e mover-se radialmente a uma unidade de comprimento aumenta a distância exactamente de 1.

Resposta

\displaystyle D_{\mathbf{u}}f(P)=-\frac{25}{\sqrt{14}\sqrt{77}}
\displaystyle\text{Direção de máximo crescimento: }\left(-\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}}\right)çãá
\displaystyle\text{Taxa máxima de crescimento: }1á

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