Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q. Calcule também a direção segundo a qual f cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento: f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,, P=(-2,3,1), Q=(0,-5,4)
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q; (2) a direção na qual f cresce mais rapidamente em P; (3) a taxa desse crescimento máximo. Dados fornecidos:
Para usar esse vetor como direção numa derivada direcional precisamos normalizá‑lo (transformá‑lo num vetor unitário). A norma (comprimento) de \overrightarrow{PQ} é
(Resumo do porquê: a derivada direcional usa sempre um vetor unitário; para isso divide‑se qualquer vetor pela sua norma.)
Passo 3
Agora precisamos do gradiente de f. Explico o conceito: o gradiente de uma função real de várias variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais; ele aponta na direção de máximo crescimento e seu produto escalar com um vetor unitário dá a derivada direcional nessa direção. Para a nossa função f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é conveniente escrever f=\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{1/2}. Calculando as derivadas parciais,
Nota didática: este vetor tem norma 1 porque \nabla f(x,y,z) neste caso é sempre o vetor (x,y,z) dividido pela sua norma, logo \|\nabla f\|=1 para todo ponto diferente da origem.
Passo 5
A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar
porque \nabla f(P)=P/\|P\| e \mathbf{u}=\overrightarrow{PQ}/\|\overrightarrow{PQ}\|. Calculando P\cdot\overrightarrow{PQ}=(-2)\cdot 2+3\cdot(-8)+1\cdot 3=-25, e dividindo por \sqrt{14}\sqrt{77} dá o mesmo resultado.
O sinal negativo significa que, movendo‑nos de P na direção de Q, a função f diminui — ou seja, f decresce nessa direção.
Passo 6
Direção de crescimento mais rápido: por teoria, a função cresce mais rapidamente na direção do gradiente \nabla f(P). Ou seja, a direção unitária de máximo aumento em P é
Taxa máxima de crescimento: é a norma do gradiente em P, isto é
\|\nabla f(P)\|=1.
Comentário encorajador: isso faz sentido intuitivo — f mede distância à origem, então o maior aumento é seguir radialmente para fora; e mover-se radialmente a uma unidade de comprimento aumenta a distância exactamente de 1.
Resposta
\displaystyle D_{\mathbf{u}}f(P)=-\frac{25}{\sqrt{14}\sqrt{77}} \displaystyle\text{Direção de máximo crescimento: }\left(-\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}}\right)çãá \displaystyle\text{Taxa máxima de crescimento: }1á