Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
z=4 x y, P=(4,1 / 4,4)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=4xy e o ponto P=(4,\tfrac{1}{4},4). As perguntas são: encontrar
  1. uma equação do plano tangente à superfície no ponto P;
  2. uma equação da reta normal à superfície no ponto P.
Informações relevantes que temos:
  • A função que descreve a superfície é f(x,y)=4xy, com z=f(x,y).
  • O ponto de interesse é \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) = \left(4,\tfrac{1}{4},4\right).
    Nada mais será assumido; vamos calcular passo a passo as derivadas parciais e usar as fórmulas padrão para plano tangente e reta normal.

Passo 2

Conceito e fórmula do plano tangente (aula rapidinha):
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente em \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) é a aproximação linear de f em torno desse ponto.
  • A fórmula do plano tangente é a linearização de f:
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando cada símbolo:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: mede a taxa de variação de z quando variamos x mantendo y fixo.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y: mede a taxa de variação de z quando variamos y mantendo x fixo.
  • (x_0,y_0,z_0) é o ponto onde construímos o plano (no nosso caso é P).
Vou calcular f_x e f_y explicitamente para usar essa fórmula.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de f(x,y)=4xy:
  • Para f_x: tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Como 4y é constante multiplicando x, temos
f_x(x,y)=4y.
  • Para f_y: tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Como 4x é constante multiplicando y, temos
f_y(x,y)=4x.
Agora avaliamos essas derivadas no ponto \bigl(x_0,y_0\bigr)=\left(4,\tfrac{1}{4}\right):
f_x(4,\tfrac{1}{4}) = 4\cdot\tfrac{1}{4} = 1,
f_y(4,\tfrac{1}{4}) = 4\cdot 4 = 16.
Ou seja, no ponto P as inclinações nas direções x e y são 1 e 16, respectivamente.

Passo 4

Construção da equação do plano tangente usando a fórmula da Passo 2:
Substituindo z_0=4, x_0=4, y_0=\tfrac{1}{4}, f_x=1 e f_y=16 na fórmula
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0),
obtemos
z - 4 = 1\cdot(x-4) + 16\cdot\bigl(y-\tfrac{1}{4}\bigr).
Agora simplifico passo a passo:
  • 1\cdot(x-4) = x-4.
  • 16\cdot\bigl(y-\tfrac{1}{4}\bigr) = 16y - 16\cdot\tfrac{1}{4} = 16y - 4.
    Somando:
z - 4 = (x-4) + (16y - 4) = x + 16y - 8.
Logo
z = x + 16y - 4.
Este é o plano tangente em forma explícita z=\dots. Verificação rápida (útil na prova): ao substituir x=4 e y=\tfrac{1}{4} a RHS fica 4 + 16\cdot\tfrac{1}{4} -4 = 4, então o plano realmente passa por P.

Passo 5

Conceito e construção da reta normal:
  • A reta normal à superfície no ponto P passa por P e tem direção igual ao vetor normal ao plano tangente. Para a superfície dada por z=f(x,y) podemos formar a função F(x,y,z)=z-f(x,y); o gradiente \nabla F é um vetor normal ao nível F=0 (que é a superfície). Calculando,
\nabla F = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr).
(Explicando: \partial F/\partial x = -f_x, \partial F/\partial y = -f_y, \partial F/\partial z = 1. Esse vetor é perpendicular ao plano tangente.)
  • No ponto P já temos f_x(4,\tfrac{1}{4})=1 e f_y(4,\tfrac{1}{4})=16, então um vetor normal é
\mathbf{n} = \bigl(-1,\,-16,\,1\bigr).
  • A reta normal em forma paramétrica, usando parâmetro t, é:
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\,\mathbf{n}.
Substituindo os valores,
(x,y,z) = \left(4,\tfrac{1}{4},4\right) + t\bigl(-1,-16,1\bigr).
Escrevendo em coordenadas:
x = 4 - t,\qquad y = \tfrac{1}{4} - 16t,\qquad z = 4 + t.
Também podemos apresentar a forma simétrica:
\frac{x-4}{-1} = \frac{y-\tfrac{1}{4}}{-16} = \frac{z-4}{1}.
Verificação rápida: em t=0 a reta passa por P; o vetor direção (-1,-16,1) é normal ao plano tangente por construção, logo é a reta normal correta.

Resposta

Plano tangente: z = x + 16y - 4
Reta normal (paramétrica): x = 4 - t,\; y = \tfrac{1}{4} - 16t,\; z = 4 + t

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