Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
,
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e o ponto
. As perguntas são: encontrar
- uma equação do plano tangente à superfície no ponto
; - uma equação da reta normal à superfície no ponto
.
Informações relevantes que temos:
- A função que descreve a superfície é
, com . - O ponto de interesse é
.
Nada mais será assumido; vamos calcular passo a passo as derivadas parciais e usar as fórmulas padrão para plano tangente e reta normal.
Passo 2
Conceito e fórmula do plano tangente (aula rapidinha):
- Para uma superfície dada por
, o plano tangente em é a aproximação linear de em torno desse ponto. - A fórmula do plano tangente é a linearização de
:
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a taxa de variação de quando variamos mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : mede a taxa de variação de quando variamos mantendo fixo. -
é o ponto onde construímos o plano (no nosso caso é ).
Vou calcular
e
explicitamente para usar essa fórmula.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
:
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . Como é constante multiplicando , temos
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . Como é constante multiplicando , temos
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
:
Ou seja, no ponto
as inclinações nas direções
e
são
e
, respectivamente.
Passo 4
Construção da equação do plano tangente usando a fórmula da Passo 2:
Substituindo ,
,
,
e
na fórmula
Substituindo
obtemos
Agora simplifico passo a passo:
-
. -
.
Somando:
Logo
Este é o plano tangente em forma explícita
. Verificação rápida (útil na prova): ao substituir
e
a RHS fica
, então o plano realmente passa por
.
Passo 5
Conceito e construção da reta normal:
- A reta normal à superfície no ponto
passa por e tem direção igual ao vetor normal ao plano tangente. Para a superfície dada por podemos formar a função ; o gradiente é um vetor normal ao nível (que é a superfície). Calculando,
(Explicando:
,
,
. Esse vetor é perpendicular ao plano tangente.)
- No ponto
já temos e , então um vetor normal é
- A reta normal em forma paramétrica, usando parâmetro
, é:
Substituindo os valores,
Escrevendo em coordenadas:
Também podemos apresentar a forma simétrica:
Verificação rápida: em
a reta passa por
; o vetor direção
é normal ao plano tangente por construção, logo é a reta normal correta.
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):