(6 pontos) Calcule a área da regiāo limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada por
,
,
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região é delimitada verticalmente por duas curvas expressas como
função de : (parábola) e (reta). - A região é limitada horizontalmente pelos retângulos de altura entre
e , ou seja o intervalo de é . - Pergunta: calcular a área dessa região.
Passo 2
Vamos decidir a forma prática de calcular a área. Quando as fronteiras esquerda e direita da região são dadas como
e
, a fórmula de área é
Aqui
e
. Preciso apenas identificar qual das curvas é a borda direita (
) e qual é a borda esquerda (
) para todo
em
.
Passo 3
Comparo as duas curvas para ver qual está à direita (maior
) em
. Igualando:
O discriminante é
, ou seja, não há soluções reais; as curvas não se intersectam. Para saber a ordem, faço um teste simples, por exemplo em
:
Portanto para todo
temos
. Conclusão:
Passo 4
Agora escrevo a integral da área:
Nota rápida: o integrando
é não-negativo no intervalo, então a área será positiva, como esperado.
Passo 5
Calculo a primitiva passo a passo. Uma primitiva de
é
Agora avalio
em
e em
:
Para
:
Colocando em denominador comum
:
Para
:
Calculo os termos:
. Colocando em denominador
:
Agora a área é
:
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio final: usamos integração em
porque as fronteiras esquerda e direita estão dadas por
funções de
; verificamos que a parábola
fica sempre à direita da reta
no intervalo
; então integramos a diferença
de
a
e obtemos
. Boa! Você chegou no resultado — tá ficando melhor a cada exercício.