(6 pontos) Calcule a área da regiāo limitada por x=y^{2}, x=y-2, y=-2 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada por x=y^{2}, x=y-2, y=-2 e y=1.\n
Informações dadas:
  • A região é delimitada verticalmente por duas curvas expressas como x= função de y: x=y^{2} (parábola) e x=y-2 (reta).
  • A região é limitada horizontalmente pelos retângulos de altura entre y=-2 e y=1, ou seja o intervalo de y é [-2,1].
  • Pergunta: calcular a área dessa região.

Passo 2

Vamos decidir a forma prática de calcular a área. Quando as fronteiras esquerda e direita da região são dadas como x=f(y) e x=g(y), a fórmula de área é
\text{Área}=\int_{y=a}^{y=b}\big(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\big)\,dy.Á
Aqui a=-2 e b=1. Preciso apenas identificar qual das curvas é a borda direita ( x_{\text{direita}}) e qual é a borda esquerda ( x_{\text{esquerda}}) para todo y em [-2,1].

Passo 3

Comparo as duas curvas para ver qual está à direita (maior x) em [-2,1]. Igualando:
y^{2}=y-2 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-y+2=0.
O discriminante é \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0, ou seja, não há soluções reais; as curvas não se intersectam. Para saber a ordem, faço um teste simples, por exemplo em y=0:
y^{2}=0,\qquad y-2=-2 \quad\Rightarrow\quad 0>-2.
Portanto para todo y\in[-2,1] temos y^{2}>y-2. Conclusão:
x_{\text{direita}}=y^{2},\qquad x_{\text{esquerda}}=y-2.

Passo 4

Agora escrevo a integral da área:
\text{Área}=\int_{-2}^{1}\big(y^{2}-(y-2)\big)\,dy=\int_{-2}^{1}\big(y^{2}-y+2\big)\,dy.Á
Nota rápida: o integrando y^{2}-y+2 é não-negativo no intervalo, então a área será positiva, como esperado.

Passo 5

Calculo a primitiva passo a passo. Uma primitiva de y^{2}-y+2 é
F(y)=\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2y.
Agora avalio F em 1 e em -2:
Para y=1:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}+2\cdot1=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2.
Colocando em denominador comum 6:
F(1)=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{12}{6}=\frac{11}{6}.
Para y=-2:
F(-2)=\frac{(-2)^{3}}{3}-\frac{(-2)^{2}}{2}+2\cdot(-2)=\frac{-8}{3}-\frac{4}{2}-4.
Calculo os termos: -\tfrac{8}{3}-2-4=-\tfrac{8}{3}-6. Colocando em denominador 3:
F(-2)=-\frac{8}{3}-\frac{18}{3}=-\frac{26}{3}.
Agora a área é F(1)-F(-2):
\text{Área}=\frac{11}{6}-\left(-\frac{26}{3}\right)=\frac{11}{6}+\frac{26}{3}=\frac{11}{6}+\frac{52}{6}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}.Á

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio final: usamos integração em y porque as fronteiras esquerda e direita estão dadas por x= funções de y; verificamos que a parábola x=y^{2} fica sempre à direita da reta x=y-2 no intervalo y\in[-2,1]; então integramos a diferença y^{2}-(y-2) de -2 a 1 e obtemos \tfrac{21}{2}. Boa! Você chegou no resultado — tá ficando melhor a cada exercício.

Resposta

\dfrac{21}{2}

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