Calcule as seguintes integrais com precisão de cinco casas decimais:
integral0^1 / 2 x^2e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular com precisão de cinco casas decimais a integral
I = integral0^1/2x^2e^-x^2,dx
Aqui o conteúdo principal é integrar a função x^2e^x^2. Vamos usar integração por partes para achar uma primitiva em termos da função erro imaginária erfi(x) e depois avaliar numericamente com precisão.

Passo 2

Reescrevendo o integrando, temos
x^2e^-x^2 = x^2 e^x^2
Logo
I = integral0^1/2 x^2e^x^2,dx

Passo 3

Para integrar integral x^2e^x^2dx, escolhemos
u = x e dv = x,e^x^2dx.
Então
du = dx e, por substituição direta,
v = 12e^x^2.
Aplicando integração por partes,
integral x^2e^x^2dx = uv - integral v,du = x,e^x^22 ;-;12integral e^x^2dx
Como
integral e^x^2dx = raizpi2,erfi(x),
a primitiva fica
F(x) = x,e^x^22 - raizpi4,erfi(x)

Passo 4

Agora basta avaliar de 0 a 1/2:
I = Fl(tfrac12r) - F(0) = [tfrac12,e^(1/2)^22 - raizpi4,erfil(tfrac12r)] - l[0 - 0r]
Portanto
I = e^1/44 ;-;raizpi4,erfil(tfrac12r)

Passo 5

Para achar erfi(tfrac12) e fazer a conta numérica, usamos a definição em série ou uma tabela com valor aproximado
erfi(tfrac12)approx0.61495228.
Também e^1/4approx1.28402542 e raizpiapprox1.77245385.
Então
e^1/44approx0.32100635, raizpi4,erfil(tfrac12r)approx0.27249885,
e finalmente
I approx 0.32100635 - 0.27249885 = 0.04850750

Resposta

integral0^1/2x^2e^-x^2,dx approx 0.04851

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