Situação-Problema: Expansão Térmica de uma Barra Metálica
Fonte: Adaptado de Guidorizzi, Cálculo A, Volume 1, seção sobre taxas de variação.
Uma barra de aço de comprimento L, em milímetros, está sendo aquecida de maneira controlada em um forno industrial. O comprimento da barra varia com o tempo t, em minutos, de acordo com a função:
L(t)=1000(1+0,0005 t^2)
Perguntas:
(a) Qual é a taxa de variação do comprimento da barra no instante t=10 minutos?
(b) Em que instante a taxa de variação do comprimento atinge 0,2 mm / min ?
(c) Qual será o comprimento da barra após 20 minutos de aquecimento?

Passo 1

O enunciado nos dá o comprimento da barra em função do tempo como
L(t)=1000l(1+0,0005,t^2r),
e pede (a) a taxa de variação L'(10), (b) o instante em que L'(t)=0,2,mm/min e (c) o valor de L(20). Para isso precisamos derivar L(t) e depois avaliar em diferentes pontos.

Passo 2

Para achar a taxa de variação derivamos L(t) em relação a t.
L'(t) =1000cdotddtl(1+0,0005,t^2r) =1000cdotl(0,0005cdot2tr) =1000cdot0,001t =t
Logo, L'(t)=t (em mm/min).

Passo 3

Para t=10 minutos,
L'(10)=10 mm/min

Passo 4

Queremos L'(t)=0,2. Como L'(t)=t, basta resolver
t=0,2
e obtemos t=0,2 minutos.

Passo 5

Para o comprimento após 20 minutos, avaliamos L(20):
L(20)=1000l(1+0,0005cdot20^2r) =1000l(1+0,0005cdot400r) =1000cdot1,2 =1200 mm

Resposta

(a) 10 mm/min
(b) 0,2 min
(c) 1200 mm

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