Calcule as seguintes integrais:
(1 pt) integral 2 x^2(x^3+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral aqui! O exercício pede para calcular integral 2x^2(x^3+1)^5 , dx. Isso tá dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que pode simplificar a integral quando substituímos por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Olha só, dentro da integral temos (x^3 + 1)^5. Então, vamos deixar:
u = x^3 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx. Derivando u em relação a x:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 , dx

Passo 4

Da equação du = 3x^2 , dx, queremos expressar x^2 , dx em termos de du:
x^2 , dx = du3
Mas na integral original temos 2x^2 , dx, então multiplicamos ambos os lados por 2:
2x^2 , dx = 23 , du

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original com u e du:
integral 2x^2(x^3 + 1)^5 , dx = integral (23)u^5 , du

Passo 6

A integral agora ficou mais simples:
23 integral u^5 , du
Integrando u^5 em relação a u:
23 cdot u^66 + C = u^69 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para termos em x:
(x^3 + 1)^69 + C

Resposta

integral 2x^2(x^3+1)^5 d x = (x^3 + 1)^69 + C

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