Calcule as seguintes integrais:
( 2,5 pt ) integral2^3 xraiz[5]x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral2^3 xraiz[5]x^2-1 , dx. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o denominador da fração é raiz[5]x^2-1, que é o mesmo que (x^2-1)^1/5. Isso sugere que uma boa estratégia é usar uma substituição que envolva x^2 - 1. Vamos definir:
u = x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(x^2 - 1) , dx = 2x , dx
Isso significa que podemos resolver para x , dx:
x , dx = du2

Passo 4

Substituindo u e x , dx na integral original, temos:
integral x(x^2-1)^1/5 , dx = integral 1u^1/5 cdot du2 = 12 integral u^-1/5 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/5. A integral de u^n em relação a u é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
12 integral u^-1/5 , du = 12 cdot u^4/54/5 + C = 58 u^4/5 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = x^2 - 1:
58 (x^2 - 1)^4/5 + C

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
58 (x^2 - 1)^4/5 |2^3 = 58 [ (3^2 - 1)^4/5 - (2^2 - 1)^4/5 ]
Calculando os valores:
3^2 - 1 = 8
2^2 - 1 = 3
Então:
58 [ 8^4/5 - 3^4/5 ]

Resposta

A integral integral2^3 xraiz[5]x^2-1 , dx é igual a 58 (8^4/5 - 3^4/5).

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