lim x -1 x^3+4 x^2+5 x+2x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -1 x^3+4x^2+5x+2x^2+2x+1. O conteúdo envolvido é limite de função racional que apresenta forma indeterminada 0/0, e vamos precisar fatorar polinômios e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Substituindo diretamente x=-1 no numerador e no denominador, obtemos numerador (-1)^3+4(-1)^2+5(-1)+2 = -1+4-5+2=0 e denominador (-1)^2+2(-1)+1=1-2+1=0. Logo há indeterminação 00.

Passo 3

Fatoramos o numerador e o denominador para eliminar a indeterminação. Observamos:
x^3+4x^2+5x+2=(x+1)(x^2+3x+2)=(x+1)^2(x+2)
x^2+2x+1=(x+1)^2

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x+1)^2 (válido para xneq -1), obtendo a expressão simplificada
x^3+4x^2+5x+2x^2+2x+1=(x+1)^2(x+2)(x+1)^2=x+2

Passo 5

Por fim, calculamos o limite da função simplificada quando xto -1:
limxto -1(x+2)=-1+2=1

Resposta

1

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