Calcule as seguintes integrais:
(1,5 pto ) integral 16 sec ^2(x)tan ^3(x)-4 tan ^2(x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral 16,sec^2(x)tan^3(x)-4tan^2(x),dx. O conteúdo envolve integração por substituição e frações parciais.

Passo 2

Fazendo a substituição u=tan(x), temos du=sec^2(x),dx. Assim a integral vira
integral 16,sec^2(x)tan^3(x)-4tan^2(x),dx = 16integral duu^3-4u^2.

Passo 3

No integrando, fatoramos o denominador:
u^3-4u^2 = u^2(u-4).
Então
1u^2(u-4) = Au + Bu^2 + Cu-4

Passo 4

Para achar A,B,C, escrevemos
1 = A,u(u-4) + B(u-4) + C,u^2
Expandindo e comparando coeficientes, obtemos A=-tfrac116, B=-tfrac14 e C=tfrac116.

Passo 5

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
16l(Aintegralduu + Bintegralduu^2 + Cintegralduu-4r) = -integralduu -4integralduu^2 + integralduu-4
Isso dá
-ln|u| + 4u + ln|u-4| + C

Passo 6

Voltando para x com u=tan(x), escrevemos a resposta final.

Passo 7

A forma simplificada é
lnl|tan x - 4tan xr| + 4cot x + C

Resposta

lnl|tan x - 4tan xr| + 4cot x + C

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