Calcule as seguintes integrais:
$\int \frac{\cos {4}(x)}{\operatorname{sen}{2}(x)} d x \$

Passo 1

Temos a integral integral cos^4(x)sin^2(x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades de redução de potência para reescrever o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade cos^2 x = 1 - sin^2 x, logo
cos^4 x = (1 - sin^2 x)^2 = 1 - 2sin^2 x + sin^4 x,
e então
cos^4 xsin^2 x = 1 - 2sin^2 x + sin^4 xsin^2 x = csc^2 x - 2 + sin^2 x
A integral se separa em três partes:
integral cos^4 xsin^2 x,dx = integral csc^2 x,dx - 2integral dx + integral sin^2 x,dx
Sabendo que integral csc^2 x,dx = -cot x e integral dx = x, resta calcular integral sin^2 x,dx.

Passo 3

Usamos sin^2 x = 1 - cos2x2, então
integral sin^2 x,dx = integral 1 - cos2x2,dx = x2 - sin2x4
Somando todos os termos, obtemos
-cot x - 2x + l(x2 - sin2x4r) + C = -cot x - 3x2 - sin2x4 + C

Resposta

-\cot x - \tfrac{3x}{2} - \tfrac{\sin2x}{4} + C

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