Calcule as seguintes integrais pela regra da integração por partes (lembre-se do LIATE):
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando a regra da integração por partes. Para isso, vamos precisar entender o que é integração por partes e o que significa a sigla LIATE, que nos ajuda a escolher quais funções usar como
e
na fórmula. A integração por partes é uma técnica que nos permite integrar o produto de duas funções, e LIATE nos dá uma ordem de prioridade para escolher
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. A sigla LIATE nos ajuda nessa escolha, seguindo a ordem: Logaritmo, Inverso, Álgebra, Trigonométrica, Exponencial. No nosso caso, temos uma função exponencial
e uma função trigonométrica
. Segundo o LIATE, trigonométrica vem antes de exponencial, então vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, vamos derivar
e integrar
:
Derivada de
:
Integral de
:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da integração por partes com aqueles valores que achamos:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 5
Percebemos que agora temos outra integral semelhante,
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo. Desta vez, vamos escolher:
Calculando
e
:
Derivada de
:
Integral de
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos no Passo 4:
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, vamos reunir os termos semelhantes. Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, vamos isolar
do lado esquerdo:
Somando os
:
Passo 9
Para encontrar
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Portanto, a integral é:
Onde
é a constante de integração.