Calcule as seguintes integrais pela regra da integração por partes (lembre-se do LIATE):
integral e^2 theta sen 3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta usando a regra da integração por partes. Para isso, vamos precisar entender o que é integração por partes e o que significa a sigla LIATE, que nos ajuda a escolher quais funções usar como u e dv na fórmula. A integração por partes é uma técnica que nos permite integrar o produto de duas funções, e LIATE nos dá uma ordem de prioridade para escolher u.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. A sigla LIATE nos ajuda nessa escolha, seguindo a ordem: Logaritmo, Inverso, Álgebra, Trigonométrica, Exponencial. No nosso caso, temos uma função exponencial e^2 theta e uma função trigonométrica sin 3 theta. Segundo o LIATE, trigonométrica vem antes de exponencial, então vamos escolher:
u = sin 3 theta e dv = e^2 theta dtheta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, vamos derivar u e integrar dv:
Derivada de u:
du = ddtheta (sin 3 theta) dtheta = 3 cos 3 theta , dtheta
Integral de dv:
v = integral e^2 theta dtheta = e^2 theta2

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da integração por partes com aqueles valores que achamos:
integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
= sin 3 theta cdot e^2 theta2 - integral e^2 theta2 cdot 3 cos 3 theta , dtheta
Simplificando:
= e^2 theta sin 3 theta2 - 32 integral e^2 theta cos 3 theta , dtheta

Passo 5

Percebemos que agora temos outra integral semelhante, integral e^2 theta cos 3 theta , dtheta. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse termo. Desta vez, vamos escolher:
u = cos 3 theta e dv = e^2 theta dtheta
Calculando du e v:
Derivada de u:
du = ddtheta (cos 3 theta) dtheta = -3 sin 3 theta , dtheta
Integral de dv:
v = integral e^2 theta dtheta = e^2 theta2

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^2 theta cos 3 theta , dtheta = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
= cos 3 theta cdot e^2 theta2 - integral e^2 theta2 cdot (-3 sin 3 theta) , dtheta
Simplificando:
= e^2 theta cos 3 theta2 + 32 integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos no Passo 4:
integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta = e^2 theta sin 3 theta2 - 32 ( e^2 theta cos 3 theta2 + 32 integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta )
Distribuindo o -32:
= e^2 theta sin 3 theta2 - 3 e^2 theta cos 3 theta4 - 94 integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta

Passo 8

Agora, vamos reunir os termos semelhantes. Vamos chamar a integral original de I:
I = integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta
Substituindo na equação:
I = e^2 theta sin 3 theta2 - 3 e^2 theta cos 3 theta4 - 94 I
Agora, vamos isolar I do lado esquerdo:
I + 94 I = e^2 theta sin 3 theta2 - 3 e^2 theta cos 3 theta4
Somando os I:
134 I = e^2 theta sin 3 theta2 - 3 e^2 theta cos 3 theta4

Passo 9

Para encontrar I, vamos multiplicar ambos os lados por 413:
I = 413 ( e^2 theta sin 3 theta2 - 3 e^2 theta cos 3 theta4 )
Simplificando os coeficientes:
I = 2 e^2 theta sin 3 theta13 - 3 e^2 theta cos 3 theta13

Resposta

Portanto, a integral é:
integral e^2 theta sin 3 theta , dtheta = 2 e^2 theta sin 3 theta - 3 e^2 theta cos 3 theta13 + C
Onde C é a constante de integração.

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