Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
integral0^pi2 e^2 x sen(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi2 e^2xsin(3x),dx usando integração por partes. O conteúdo aqui é a técnica de integração por partes e vai ser preciso aplicar duas vezes para resolver o integral indefinido e depois usar os limites.

Passo 2

Vamos chamar I= integral e^2xsin(3x),dx. Para aplicar integração por partes, escolhemos u=e^2x e dv=sin(3x),dx. Então
du=2e^2x,dx, v=-13cos(3x)

Passo 3

Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du, obtemos
I=-13e^2xcos(3x)-integrall(-tfrac13cos(3x)r),2e^2xdx=-13e^2xcos(3x)+23integral e^2xcos(3x),dx

Passo 4

Defina agora J= integral e^2xcos(3x),dx. Novamente por partes, escolhemos u=e^2x e dv=cos(3x),dx, daí
du=2e^2x,dx, v=13sin(3x)

Passo 5

Logo
J=13e^2xsin(3x)-integral13sin(3x),2e^2xdx=13e^2xsin(3x)-23I

Passo 6

Substituindo J em I:
I=-13e^2xcos(3x)+23l(13e^2xsin(3x)-23Ir)=-13e^2xcos(3x)+29e^2xsin(3x)-49I

Passo 7

Isolando I:
I+49I=59I=-13e^2xcos(3x)+29e^2xsin(3x)Longrightarrow I=-35e^2xcos(3x)+25e^2xsin(3x)

Passo 8

Agora usamos os limites de 0 a pi2: avaliando em x=pi2 temos e^2x=e^pi, cos(3x)=0, sin(3x)=-1. Avaliando em x=0 temos e^0=1, cos0=1, sin0=0.
O valor do integral é
l(-tfrac35e^2xcos(3x)+tfrac25e^2xsin(3x)r)|0^pi2=l(0-tfrac25e^pir)-l(-tfrac35r)=35-25e^pi

Resposta

integral0^pi2 e^2xsin(3x),dx=3-2e^pi5.

Exercícios relacionados