Calcule as seguintes integrais, pela regra de substituição:
integral 2 x raiz1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2xraiz1+x^2,dx usando a regra de substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos precisar identificar uma parte da expressão cuja derivada apareça multiplicando.

Passo 2

Vamos escolher como substituição a expressão dentro da raiz. Definimos u = 1 + x^2. Então, ao derivar em relação a x, temos
du = 2x,dx
Observe que esse du corresponde exatamente ao 2x,dx que está na integral original.

Passo 3

Com a substituição feita, a integral se transforma em uma forma mais simples. Temos:
integral 2xraiz1+x^2,dx = integral raizu,du
E como raizu = u^1/2, fica:
integral u^1/2,du .

Passo 4

Agora basta aplicar a fórmula de potência para integrar u^1/2. Sabemos que:
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C
Para n=1/2, temos:
integral u^1/2,du = u^(1/2)+1(1/2)+1 + C = u^3/23/2 + C = 23u^3/2 + C .

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 1 + x^2. Assim, a solução geral da integral é:
23(1 + x^2)^3/2 + C

Resposta

23(1 + x^2)^3/2 + C

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