Sabendo, que a reta y-8=m(x+14) é tangente ao gráfico da função f(x)=x^2-4 x+7 no ponto P(x0, f(x0)), marque a opção correta.
Escolha uma opção:
a. m=-4 e x0=0
b. m=-5 e x0=0
c. m=-8 e x0=-14
d. m=-4 e x0=-12
e. m=-14 e x0=2

Passo 1

O enunciado diz que a reta y-8=ml(x+tfrac14r) é tangente ao gráfico de f(x)=x^2-4x+7 no ponto P(x0,f(x0)). O conteúdo é derivada e reta tangente, e vamos precisar usar: (1) a derivada f'(x) dá o coeficiente angular da tangente, (2) a reta tangente passa por (x0,f(x0)).

Passo 2

A derivada de f(x) é f'(x)=2x-4. Como a reta tem coeficiente angular m, impomos m=f'(x0)=2x0-4.

Passo 3

Reescrevendo a reta em forma explícita:
y-8=ml(x+tfrac14r)Longrightarrow y=mx+tfrac m4+8

Passo 4

No ponto x=x0 deve valer f(x0)=x0^2-4x0+7 igual ao y da reta, ou seja:
x0^2-4x0+7 ,=, m x0+tfrac m4+8

Passo 5

Substituindo m=2x0-4 nessa igualdade:
$$x_0^2-4x_0+7 = (2x_0-4)x_0 + \tfrac{2x_0-4}4 +8.
$$

Passo 6

Simplificando o lado direito:
(2x0-4)x0 + tfrac2x0-44 +8 = 2x0^2-4x0+tfracx02-1+8 = 2x0^2-4x0+tfracx02+7

Passo 7

Igualando e cancelando termos comuns, obtemos:
x0^2-4x0+7 = 2x0^2-4x0+tfracx02+7 Longrightarrow x0^2+tfracx02=0 Longrightarrow x0(x0+tfrac12)=0

Passo 8

Logo x0=0 ou x0=-tfrac12. Calculando m=2x0-4: para x0=0 vem m=-4; para x0=-tfrac12 vem m=-5.

Passo 9

Consultando as opções, apenas m=-4 e x0=0 consta na alternativa (a).

Resposta

m=-4 e x_{0}=0

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