Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas: \iint_{D} y d x d y ; y=2 x^{2}-2, y=x^{2}+x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas curvas
y=2x^{2}-2
e
y=x^{2}+x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As duas curvas são parábolas descritas explicitamente por funções y=f(x).
A região D é o conjunto de pontos (x,y) entre essas duas curvas onde elas se intersectam (ou seja, a região limitada por elas).
A integral pede somar (integrar) a função y sobre toda a região D.
Passo 2
Encontrar os pontos de intersecção das curvas para saber os limites em x. Igualamos as expressões de y:
2x^{2}-2 = x^{2}+x.
Resolvendo:
2x^{2}-2 - x^{2}-x = 0
x^{2}-x-2=0.
Esta é uma equação quadrática. Podemos fatorar:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0,
portanto os pontos de intersecção em x são
x=-1 \quad\text{e}\quad x=2.
Passo 3
Determinar qual curva é a superior (maior y) e qual é a inferior entre x=-1 e x=2. Para isso avaliamos as funções em um valor intermediário, por exemplo x=0:
y_{\text{parábola 1}}(0)=2\cdot0^{2}-2=-2,
y_{\text{parábola 2}}(0)=0^{2}+0=0.
Como 0>-2, a curva y=x^{2}+x está acima de y=2x^{2}-2 no intervalo entre -1 e 2. Logo, para cada x\in[-1,2] o y varia de y_{\text{inferior}}=2x^{2}-2 até y_{\text{superior}}=x^{2}+x.
Passo 4
Montar a integral iterada com a ordem dy\,dx (primeiro integrar em y, depois em x), usando os limites encontrados:
Explicação do porquê: quando a região é dada entre duas curvas y=g_1(x) e y=g_2(x) com g_1(x)\le g_2(x), a integral dupla de uma função f(x,y) pode ser escrita como \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx. Aqui f(x,y)=y.
Passo 5
Calcular a integral interna em y:
\int_{y=2x^{2}-2}^{\,x^{2}+x} y\,dy.
Usamos a primitiva de y em relação a y, que é \dfrac{y^{2}}{2}. Então
Interpretação final: o valor da integral dupla é \dfrac{27}{20}. Isso significa que, ao somar a função y sobre toda a região D limitada pelas duas parábolas, obtemos a área “ponderada” por y igual a \dfrac{27}{20}. Se quiser, imagine que cada ponto tem “massa” proporcional a sua coordenada y; a integral é a massa total.