Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
\iint_{D} y d x d y ; y=2 x^{2}-2, y=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas curvas
y=2x^{2}-2
e
y=x^{2}+x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As duas curvas são parábolas descritas explicitamente por funções y=f(x).
  • A região D é o conjunto de pontos (x,y) entre essas duas curvas onde elas se intersectam (ou seja, a região limitada por elas).
  • A integral pede somar (integrar) a função y sobre toda a região D.

Passo 2

Encontrar os pontos de intersecção das curvas para saber os limites em x. Igualamos as expressões de y:
2x^{2}-2 = x^{2}+x.
Resolvendo:
2x^{2}-2 - x^{2}-x = 0
x^{2}-x-2=0.
Esta é uma equação quadrática. Podemos fatorar:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0,
portanto os pontos de intersecção em x são
x=-1 \quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Determinar qual curva é a superior (maior y) e qual é a inferior entre x=-1 e x=2. Para isso avaliamos as funções em um valor intermediário, por exemplo x=0:
y_{\text{parábola 1}}(0)=2\cdot0^{2}-2=-2,á
y_{\text{parábola 2}}(0)=0^{2}+0=0.á
Como 0>-2, a curva y=x^{2}+x está acima de y=2x^{2}-2 no intervalo entre -1 e 2. Logo, para cada x\in[-1,2] o y varia de y_{\text{inferior}}=2x^{2}-2 até y_{\text{superior}}=x^{2}+x.

Passo 4

Montar a integral iterada com a ordem dy\,dx (primeiro integrar em y, depois em x), usando os limites encontrados:
\iint_{D} y\,dx\,dy = \int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=2x^{2}-2}^{\,x^{2}+x} y\,dy\right)dx.
Explicação do porquê: quando a região é dada entre duas curvas y=g_1(x) e y=g_2(x) com g_1(x)\le g_2(x), a integral dupla de uma função f(x,y) pode ser escrita como \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx. Aqui f(x,y)=y.

Passo 5

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=2x^{2}-2}^{\,x^{2}+x} y\,dy.
Usamos a primitiva de y em relação a y, que é \dfrac{y^{2}}{2}. Então
\int_{y=2x^{2}-2}^{\,x^{2}+x} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{y=2x^{2}-2}^{y=x^{2}+x} = \frac{(x^{2}+x)^{2}}{2} - \frac{(2x^{2}-2)^{2}}{2}.

Passo 6

Simplificar a expressão obtida antes de integrar em x. Primeiro expandimos cada quadrado:
(x^{2}+x)^{2} = x^{4}+2x^{3}+x^{2},
(2x^{2}-2)^{2} = 4x^{4}-8x^{2}+4.
Subtraindo e colocando o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{(x^{2}+x)^{2}}{2} - \frac{(2x^{2}-2)^{2}}{2} = \frac{1}{2}\bigl((x^{4}+2x^{3}+x^{2}) - (4x^{4}-8x^{2}+4)\bigr)
= \frac{1}{2}\bigl(-3x^{4}+2x^{3}+9x^{2}-4\bigr).
Distribuindo \tfrac{1}{2}:
= -\frac{3}{2}x^{4} + x^{3} + \frac{9}{2}x^{2} - 2.
Portanto a integral dupla vira
\int_{-1}^{2}\left(-\frac{3}{2}x^{4} + x^{3} + \frac{9}{2}x^{2} - 2\right)dx.

Passo 7

Integrar termo a termo em x. As primitivas são:
\int -\frac{3}{2}x^{4}\,dx = -\frac{3}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5} = -\frac{3}{10}x^{5},
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},
\int \frac{9}{2}x^{2}\,dx = \frac{9}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{3}{2}x^{3},
\int -2\,dx = -2x.
Somando, uma primitiva apropriada é
F(x) = -\frac{3}{10}x^{5} + \frac{1}{4}x^{4} + \frac{3}{2}x^{3} - 2x.

Passo 8

Avaliar F(x) nos limites x=2 e x=-1 e subtrair F(2)-F(-1).
Calcular F(2):
F(2) = -\frac{3}{10}\cdot 2^{5} + \frac{1}{4}\cdot 2^{4} + \frac{3}{2}\cdot 2^{3} - 2\cdot 2.
Computando cada termo:
2^{5}=32\Rightarrow -\frac{3}{10}\cdot 32 = -\frac{96}{10} = -\frac{48}{5},
2^{4}=16\Rightarrow \frac{1}{4}\cdot 16 = 4,
2^{3}=8\Rightarrow \frac{3}{2}\cdot 8 = 12,
-2\cdot 2 = -4.
Somando:
F(2) = -\frac{48}{5} + 4 + 12 - 4 = -\frac{48}{5} + 12 = \frac{12}{5}.
Calcular F(-1):
F(-1) = -\frac{3}{10}(-1)^{5} + \frac{1}{4}(-1)^{4} + \frac{3}{2}(-1)^{3} - 2(-1).
Computando:
-\frac{3}{10}(-1)^{5} = -\frac{3}{10}(-1)=\frac{3}{10},
\frac{1}{4}(-1)^{4}=\frac{1}{4},
\frac{3}{2}(-1)^{3}=\frac{3}{2}(-1)=-\frac{3}{2},
-2(-1)=2.
Somando com denominador comum 20 (opcional):
F(-1)=\frac{3}{10}+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{6}{20}+\frac{5}{20}-\frac{30}{20}+\frac{40}{20}=\frac{21}{20}.
Agora subtrair:
F(2)-F(-1)=\frac{12}{5}-\frac{21}{20}.
Colocando denominação comum 20:
\frac{12}{5}=\frac{48}{20},\quad \frac{48}{20}-\frac{21}{20}=\frac{27}{20}.

Passo 9

Interpretação final: o valor da integral dupla é \dfrac{27}{20}. Isso significa que, ao somar a função y sobre toda a região D limitada pelas duas parábolas, obtemos a área “ponderada” por y igual a \dfrac{27}{20}. Se quiser, imagine que cada ponto tem “massa” proporcional a sua coordenada y; a integral é a massa total.

Resposta

\dfrac{27}{20}

Exercícios relacionados