Determine um fator integrante e resolva
(2 x+3 y) d x+x d y=0, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+3y)\,dx + x\,dy = 0,\quad x>0.
O que nos pede:
  1. Determinar um fator integrante (uma função \mu que multiplique a equação e a torne exata).
  2. Resolver a equação (obter a solução geral).
    Informações relevantes fornecidas: a função M(x,y)=2x+3y que multiplica dx, a função N(x,y)=x que multiplica dy, e a condição x>0 (que afeta a validade de fatores envolvendo \ln x ou potências de x).

Passo 2

Primeira ideia: testar se a forma diferencial é exata. Lembrando: uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Um teste prático é comparar as derivadas mistas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+3y)=3,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como 3\neq 1, a equação não é exata inicialmente. Então precisamos de um fator integrante \mu que torne exata a forma \mu M\,dx+\mu N\,dy.

Passo 3

Explicando a ideia de fator integrante que depende só de x: suponha \mu=\mu(x). A condição de exatidão para \mu M\,dx+\mu N\,dy é
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Se \mu depende só de x, podemos escrever
\mu(x)\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'(x)N(x,y)+\mu(x)\frac{\partial N}{\partial x}.
Rearranjando e dividindo por \mu(x)N (quando N\neq 0) obtemos a fórmula útil
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
O lado direito depende apenas de x se e só se existe um \mu(x) desse tipo. Então, calculemos esse quociente para a nossa equação:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{3-1}{x}=\frac{2}{x}.
Observe que esse resultado depende apenas de x. Logo existe um fator integrante \mu(x). Para encontrá-lo, integramos:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{2}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int\frac{2}{x}\,dx=2\ln x + C.
Escolhendo a constante C=0 (qualquer constante multiplicativa no fator integrante só muda a solução por constante multiplicativa), obtemos
\ln\mu(x)=2\ln x\quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{2\ln x}=x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante \mu(x)=x^{2}. A equação transformada fica
x^{2}(2x+3y)\,dx + x^{2}\cdot x\,dy = 0.
Simplificando:
(2x^{3}+3x^{2}y)\,dx + x^{3}\,dy = 0.
Agora verifiquemos a exatidão desta forma: definimos
\widetilde{M}(x,y)=2x^{3}+3x^{2}y,\qquad \widetilde{N}(x,y)=x^{3}.
Calculemos as derivadas mistas:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=3x^{2},\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=3x^{2}.
Como são iguais, a forma é exata, isto é, existe \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\widetilde{M} e \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N}.

Passo 5

Para achar \Phi(x,y) integramos \widetilde{M} em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \widetilde{M}(x,y)\,dx=\int (2x^{3}+3x^{2}y)\,dx.
Realizando a integração termo a termo (lembrando que y é tratado como constante ao integrar em x):
\int 2x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{2},
\int 3x^{2}y\,dx = 3y\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}y.
Portanto
\Phi(x,y)=\frac{x^{4}}{2}+x^{3}y + h(y),
onde h(y) é uma função qualquer de y (constante de integração em relação a x). Agora usamos a condição \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N}=x^{3} para determinar h:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^{3}+h'(y)=x^{3}.
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante. Podemos assim tomar a função potencial
\Phi(x,y)=\frac{x^{4}}{2}+x^{3}y.

Passo 6

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C, com C constante. Assim:
\frac{x^{4}}{2}+x^{3}y = C.
Se quiser escrever explicitamente y em função de x, basta isolar y:
x^{3}y = C - \frac{x^{4}}{2}\quad\Rightarrow\quad y = Cx^{-3} - \frac{x}{2}.
Lembre-se que a hipótese x>0 garante que x^{-3} e \ln x (usados ao encontrar \mu) não causam problemas de domínio.

Resposta

\mu(x)=x^{2}
\dfrac{x^{4}}{2}+x^{3}y=C

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