Determine um fator integrante e resolva
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que nos pede:
- Determinar um fator integrante (uma função
que multiplique a equação e a torne exata). - Resolver a equação (obter a solução geral).
Informações relevantes fornecidas: a funçãoque multiplica , a função que multiplica , e a condição (que afeta a validade de fatores envolvendo ou potências de ).
Passo 2
Primeira ideia: testar se a forma diferencial é exata. Lembrando: uma forma
é exata se existe uma função
tal que
e
. Um teste prático é comparar as derivadas mistas:
Calculemos:
Como
, a equação não é exata inicialmente. Então precisamos de um fator integrante
que torne exata a forma
.
Passo 3
Explicando a ideia de fator integrante que depende só de
: suponha
. A condição de exatidão para
é
Se
depende só de
, podemos escrever
Rearranjando e dividindo por
(quando
) obtemos a fórmula útil
O lado direito depende apenas de
se e só se existe um
desse tipo. Então, calculemos esse quociente para a nossa equação:
Observe que esse resultado depende apenas de
. Logo existe um fator integrante
. Para encontrá-lo, integramos:
Escolhendo a constante
(qualquer constante multiplicativa no fator integrante só muda a solução por constante multiplicativa), obtemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
. A equação transformada fica
Simplificando:
Agora verifiquemos a exatidão desta forma: definimos
Calculemos as derivadas mistas:
Como são iguais, a forma é exata, isto é, existe
tal que
e
.
Passo 5
Para achar
integramos
em relação a
:
Realizando a integração termo a termo (lembrando que
é tratado como constante ao integrar em
):
Portanto
onde
é uma função qualquer de
(constante de integração em relação a
). Agora usamos a condição
para determinar
:
Daí
, logo
é constante. Podemos assim tomar a função potencial
Passo 6
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
, com
constante. Assim:
Se quiser escrever explicitamente
em função de
, basta isolar
:
Lembre-se que a hipótese
garante que
e
(usados ao encontrar
) não causam problemas de domínio.