Determine um fator integrante e resolva
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar um fator integrante e resolver a equação diferencial dada, em que
e
. A equação escrita é a forma diferencial
Informações relevantes:
A tarefa é: achar um fator integrante
(se possível simples — por exemplo função de
só ou de
só) que torne a forma exata, e então resolver (ou seja, encontrar uma função potencial
tal que
dê a solução implícita).
Passo 2
Primeiro check de exatidão (vai nos dizer se já é exata):
Calcule as derivadas parciais
Calcule as derivadas parciais
Como
em geral, a forma não é exata inicialmente.
Passo 3
Procura-se um fator integrante
que dependa só de
(é a abordagem mais simples). A condição para existir
é que a função
dependa apenas de
. Vamos calcular:
Logo
Simplificando:
Isso depende apenas de
, portanto existe um fator integrante
.
Passo 4
Determinamos
resolvendo a equação
Integramos ambos os lados:
Exponenciando,
Como um fator integrante pode ser multiplicado por constante, escolhemos (omitindo a constante multiplicativa)
Para trabalhar de forma concreta com raízes reais, podemos separar os casos
e
; a notação
cobre ambos. Para simplificar os cálculos abaixo, usarei a notação
entendendo que, para
, deve-se tomar
.
Passo 5
Multiplicamos a forma original por
. Tomando
(caso
; caso contrário usar
), obtemos as novas funções
Verificamos exatidão agora:
Colocando em comum fator
:
Temos
, logo a forma multiplicada por
é exata.
Passo 6
Agora existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Fazemos a integral. Substitua
, então
e
. O integrando fica
Integrando termo a termo:
Voltando a
:
Passo 7
Imponha agora
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
temos
Colocando em evidência
no lado esquerdo:
Simplificando o parêntese:
Então o termo com
cancela exatamente, sobrando
Assim
.
Passo 8
A função potencial que define a solução implícita é, então (retirando a constante
para o lado direito),
Fatorando:
pois
.
Observação sobre domínio: como usamos
, a solução real pode ser escrita de forma unificada como
Se você trabalha no ramo
(onde
é a raiz positiva), a forma é