Determine um fator integrante e resolva
(3 x y-4 y)+d x+\left(2 x^{2}-4 x\right) d y=0, x>0 e y>0

Passo 1

O enunciado pede para determinar um fator integrante e resolver a equação diferencial dada, em que x>0 e y>0. A equação escrita é a forma diferencial
(3xy-4y)\,dx + (2x^2-4x)\,dy = 0.
Informações relevantes:
M(x,y)=3xy-4y,\qquad N(x,y)=2x^2-4x.
A tarefa é: achar um fator integrante \mu (se possível simples — por exemplo função de x só ou de y só) que torne a forma exata, e então resolver (ou seja, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=0 dê a solução implícita).

Passo 2

Primeiro check de exatidão (vai nos dizer se já é exata):
Calcule as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3xy-4y)=3x-4,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x^2-4x)=4x-4.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} em geral, a forma não é exata inicialmente.

Passo 3

Procura-se um fator integrante \mu que dependa só de x (é a abordagem mais simples). A condição para existir \mu=\mu(x) é que a função
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
dependa apenas de x. Vamos calcular:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=(3x-4)-(4x-4)=-x.
Logo
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{-x}{2x^2-4x}.
Simplificando:
\frac{-x}{2x^2-4x}=\frac{-x}{2x(x-2)}=-\frac{1}{2(x-2)}.
Isso depende apenas de x, portanto existe um fator integrante \mu(x).

Passo 4

Determinamos \mu(x) resolvendo a equação
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{1}{2(x-2)}.
Integramos ambos os lados:
\ln|\mu(x)|=\int -\frac{1}{2(x-2)}\,dx=-\frac{1}{2}\ln|x-2|+C.
Exponenciando,
\mu(x)=C\;|x-2|^{-1/2}.
Como um fator integrante pode ser multiplicado por constante, escolhemos (omitindo a constante multiplicativa)
\mu(x)=|x-2|^{-1/2}.
Para trabalhar de forma concreta com raízes reais, podemos separar os casos x>2 e 0<x<2; a notação |x-2| cobre ambos. Para simplificar os cálculos abaixo, usarei a notação (x-2)^{-1/2} entendendo que, para x<2, deve-se tomar |x-2|^{-1/2}.

Passo 5

Multiplicamos a forma original por \mu(x). Tomando \mu=(x-2)^{-1/2} (caso x>2; caso contrário usar |x-2|^{-1/2}), obtemos as novas funções
\widetilde M=\mu M=(x-2)^{-1/2}(3xy-4y)=y(3x-4)(x-2)^{-1/2},
\widetilde N=\mu N=(x-2)^{-1/2}(2x^2-4x)=2x(x-2)(x-2)^{-1/2}=2x(x-2)^{1/2}.
Verificamos exatidão agora:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}= (3x-4)(x-2)^{-1/2},
\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}= \frac{d}{dx}\big(2x(x-2)^{1/2}\big)=2(x-2)^{1/2}+2x\cdot\frac{1}{2}(x-2)^{-1/2}.
Colocando em comum fator (x-2)^{-1/2}:
\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=\big(2(x-2)+x\big)(x-2)^{-1/2}=(3x-4)(x-2)^{-1/2}.
Temos \partial\widetilde M/\partial y=\partial\widetilde N/\partial x, logo a forma multiplicada por \mu é exata.

Passo 6

Agora existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde M=y(3x-4)(x-2)^{-1/2}, \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde N=2x(x-2)^{1/2}.
Integramos \Psi_x=\widetilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int y(3x-4)(x-2)^{-1/2}\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Fazemos a integral. Substitua u=x-2, então du=dx e x=u+2. O integrando fica
y\big(3(u+2)-4\big)u^{-1/2}=y(3u+2)u^{-1/2}=y\big(3u^{1/2}+2u^{-1/2}\big).
Integrando termo a termo:
\int y(3u^{1/2}+2u^{-1/2})\,du = y\big(2u^{3/2}+4u^{1/2}\big)+C(y).
Voltando a x:
\Psi(x,y)=y\big(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\big)+h(y).

Passo 7

Imponha agora \Psi_y=\widetilde N. Calcule \Psi_y a partir da expressão encontrada:
\Psi_y=2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}+h'(y).
Igualando a \widetilde N=2x(x-2)^{1/2} temos
2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}+h'(y)=2x(x-2)^{1/2}.
Colocando em evidência (x-2)^{1/2} no lado esquerdo:
\big(2(x-2)+4\big)(x-2)^{1/2}+h'(y)=2x(x-2)^{1/2}.
Simplificando o parêntese:
\big(2x-4+4\big)(x-2)^{1/2}+h'(y)=2x(x-2)^{1/2}.
Então o termo com x cancela exatamente, sobrando
h'(y)=0.
Assim h(y)=\text{const}.

Passo 8

A função potencial que define a solução implícita é, então (retirando a constante h para o lado direito),
\Psi(x,y)=y\big(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\big)=C.
Fatorando:
\Psi(x,y)=2xy(x-2)^{1/2}=C,
pois 2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}=2(x-2)^{1/2}\big((x-2)+2\big)=2x(x-2)^{1/2}.
Observação sobre domínio: como usamos \mu(x)=|x-2|^{-1/2}, a solução real pode ser escrita de forma unificada como
2x y \sqrt{|x-2|}=C.
Se você trabalha no ramo x>2 (onde \sqrt{x-2} é a raiz positiva), a forma é
2x y \sqrt{x-2}=C.

Resposta

2x y \sqrt{|x-2|}=C

Exercícios relacionados