Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
(e) integral duplaD e^x+y d x d y ; y=0, y=x e x-1=0

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: queremos calcular a integral dupla integral duplaD e^x+y,dx,dy, onde a região D é o triângulo limitado pelas curvas y=0, y=x e x=1. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas: precisamos descrever D com limites adequados e depois integrar em duas etapas.

Passo 2

Determinar os limites de integração: como D é dado por 0<= y<= x e 0<= x<=1, podemos escrever a integral iterada assim:
integral duplaD e^x+y,dx,dy = integralx=0^1integraly=0^x e^x+y,dy,dx

Passo 3

Integral interna em y: tratamos x como constante e temos
integraly=0^x e^x+y,dy = e^xintegral0^x e^y,dy = e^xl[e^yr]0^x = e^x(e^x-1)

Passo 4

Integral externa em x: substituindo o resultado anterior,
integral0^1 e^x(e^x-1),dx = integral0^1 l(e^2x - e^xr),dx
As primitivas são
integral e^2xdx = tfrac12 e^2x, integral e^xdx = e^x
Avaliando de 0 a 1:
l[tfrac12 e^2x - e^xr]0^1 = l(tfrac12 e^2 - er) - l(tfrac12 - 1r)

Resposta

tfrace^22 - e + tfrac12

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