Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+y=sec (x), y(0)=1 e y^prime(0)=0
© Obtenha a solução do PVI.

Passo 1

O problema é um EDO de segunda ordem não homogênea: precisamos resolver
– a equação homogênea associada
– encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros
– impor as condições iniciais para achar as constantes. A matéria envolvida é equações lineares de 2º ordem com coeficientes constantes e variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+y=0
A solução geral dessa homogênea é
yh(x)=Acos x+Bsin x,
pois sabemos que as raízes do polinômio característico r^2+1=0 são r=pm i, gerando cos x e sin x.

Passo 3

Para a parte particular yp vamos usar variação de parâmetros. Escolhemos as soluções fundamentais y1=cos x e y2=sin x. O Wronskiano é
W=cos x & sin x -sin x & cos x=1
As fórmulas do método dizem que
u1'(x)=-g(x)y2(x)W, u2'(x)=g(x)y1(x)W,
onde g(x)=sec x.

Passo 4

Calculamos as derivadas dos coeficientes:
u1'(x)=-sec xcdotsin x=-tan x,
u2'(x)=sec xcdotcos x=1
Integrando:
u1(x)=integral -tan x,dx=ln(cos x),
u2(x)=integral 1,dx=x

Passo 5

A solução particular pelo método é
yp(x)=-u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x)=-ln(cos x)cos x + xsin x
Logo a solução geral do problema é
y(x)=Acos x+Bsin x -cos xln(cos x)+xsin x

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais
  1. y(0)=1:
y(0)=Acdot1+Bcdot0 -1cdot0 +0= A =1
  1. y'(0)=0. Derivando y(x):
y'(x)=-Asin x +Bcos x +sin xln(cos x)+sin x +sin x + xcos x
Em x=0: y'(0)=B=0

Passo 7

Substituindo A=1 e B=0 na solução geral, obtemos
y(x)=cos x -cos xln(cos x)+xsin x

Passo 8

Finalizando, a solução do PVI é
y(x)=cos xl(1-ln(cos x)r)+xsin x

Resposta

y(x)=cos xl(1-ln(cos x)r)+xsin x

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