O problema é um EDO de segunda ordem não homogênea: precisamos resolver
– a equação homogênea associada
– encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros
– impor as condições iniciais para achar as constantes. A matéria envolvida é equações lineares de 2º ordem com coeficientes constantes e variação de parâmetros.
Passo 2
A parte homogênea é
A solução geral dessa homogênea é
pois sabemos que as raízes do polinômio característico são , gerando e .
Passo 3
Para a parte particular vamos usar variação de parâmetros. Escolhemos as soluções fundamentais e . O Wronskiano é
As fórmulas do método dizem que
u1'(x)=-g(x)y2(x)W, u2'(x)=g(x)y1(x)W,
onde g(x)=sec x.
Passo 4
Calculamos as derivadas dos coeficientes:
u1'(x)=-sec xcdotsin x=-tan x,
u2'(x)=sec xcdotcos x=1
Integrando:
u1(x)=integral -tan x,dx=ln(cos x),
u2(x)=integral 1,dx=x
Passo 5
A solução particular pelo método é
yp(x)=-u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x)=-ln(cos x)cos x + xsin x
Logo a solução geral do problema é
y(x)=Acos x+Bsin x -cos xln(cos x)+xsin x
Passo 6
Agora usamos as condições iniciais
y(0)=1:
y(0)=Acdot1+Bcdot0 -1cdot0 +0= A =1
y'(0)=0. Derivando y(x):
y'(x)=-Asin x +Bcos x +sin xln(cos x)+sin x +sin x + xcos x